分部积分法——公式与例题

当被积函数是乘积形式，比如 $x e^x$ 或 $x \ln x$，并且其中一个因子求导后会变得更简单时，分部积分法就很有用。它的目的不是为了套用一个看起来复杂的公式，而是把原来的积分转化成一个更容易计算的积分。

它来源于乘积求导法则的逆向使用。如果变换后的新积分并没有更简单，那么分部积分法很可能就不是合适的方法。

分部积分公式

如果你选定一个函数 $u$ 和一个微分部分 $dv$，那么

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

这就是分部积分公式。只有当新的积分 $\int v\,du$ 比原积分更容易时，它才真正有用。

这个公式为什么成立

先从微分形式的乘积法则开始：

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

对两边关于 $x$ 积分：

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

于是有

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

移项后得到

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

你不需要每次都重新推导一遍，但这就是为什么公式里会有负号。

如何选择 $u$ 和 $dv$

把 $u$ 选成求导后会变得更简单的那一部分。把 $dv$ 选成容易积分的那一部分。

一个常见的经验法则是 LIATE：对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数。它只是一个参考，不是硬性规则，但当你觉得有多种选择都合理时，它通常能提供帮助。

实际中，遇到下面这些情况时，常常会用到分部积分法：

• 多项式乘以 $e^x$ 或三角函数，
• 对数函数，比如 $\ln x$，通常可看成 $\ln x \cdot 1$，
• 反三角函数，比如 $\arctan x$。

最直接的快速判断是：选好 $u$ 之后，问自己 $du$ 是否明显更简单。如果答案是否定的，就换一种选法。

例题：$\int x \ln x\,dx$

这是一个经典例子，因为 $\ln x$ 求导后会简单很多。先把被积函数写成乘积形式：

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

这里定义域条件很重要：$\ln x$ 只在 $x > 0$ 时有定义，所以我们只在这个范围内讨论。

取

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

则

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

代入公式：

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

化简剩下的积分：

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

然后积分：

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

所以最终答案是

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

对结果求导来检验：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

这是发现符号错误最快的方法。

分部积分法的常见错误

1. 选择的 $u$ 和 $dv$ 使得新积分比原积分更难。
2. 忘记 $uv - \int v\,du$ 中的负号。
3. $u$ 求导正确了，但 $dv$ 积分算错了。
4. 忽略某些表达式自带的定义域条件，比如 $\ln x$。
5. 以为所有乘积都应该用分部积分法。有时换元法或基本积分公式更合适。

什么时候分部积分法有用

当被积函数的结构在经过一次求导后会变得更简单时，就适合使用这种方法。典型情况包括：

• 多项式乘以指数函数，例如 $\int x e^x\,dx$，
• 多项式乘以三角函数，例如 $\int x \cos x\,dx$，
• 对数函数或反三角函数乘以 $1$ 或其他简单因子。

如果这种方法没有让积分变简单，就应该停下来重新判断。分部积分法之所以有用，是因为它能降低复杂度，而不是因为公式可以机械套用。

试做一道类似的题

试试

$$\int x \sin x\,dx$$

沿用同样的判断过程：选择求导后会简化的那一部分，套用一次公式，然后对你的答案求导验证。