分数乘法——法则与例题讲解

分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母，如果可以就把结果化简。不需要先通分。例如，$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$。

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

这个法则默认 $b \ne 0$ 且 $d \ne 0$。用更直白的话说，分数乘法通常表示“求一个分数的几分之几”。

为什么分数相乘表示“的”

最快的理解方式，就是把乘法读成“的”。例如，$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ 可以理解为“四分之三的三分之二”。

如果你先有整体的 $\frac{3}{4}$，再取这部分中的 $\frac{2}{3}$，结果一定比 $\frac{3}{4}$ 更小。这正是乘法法则给出的结果。

例题：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

求

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

第 1 步：分子相乘。

$$2 \times 3 = 6$$

第 2 步：分母相乘。

$$3 \times 4 = 12$$

所以

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$$

现在化简：

$$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

所以，$\frac{3}{4}$ 的 $\frac{2}{3}$ 是 $\frac{1}{2}$。这个答案是合理的，因为你取的是一个本来就小于 $1$ 的量的一部分。

你也可以注意到，乘之前分子和分母中的 $3$ 可以先约掉，这样会更快得到同样的结果：

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

这个简便方法在这里是成立的，因为你约去的是乘法中的公因数，而不是加法或减法中的数。

分数乘整数怎么算

如果其中一个因数是整数，先把它写成分母为 $1$ 的分数。

例如，

$$3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$$

如果你想写成带分数，

$$\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$$

分数乘法中的常见错误

误用了加法法则

学生有时会写成

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2+3}{3+4}$$

这不是正确法则。做乘法时，要分子乘分子，分母乘分母。

先去找公分母

通分是分数加减时才需要的，不是分数乘法时需要的。做乘法时，直接分子乘分子、分母乘分母即可。

忘记化简

$\frac{6}{12}$ 和 $\frac{1}{2}$ 表示同一个值，但 $\frac{1}{2}$ 是更简洁的最终答案。

在错误的情况下约分

约去公因数适用于像下面这样的乘积：

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

但它不适用于加法，例如

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

因为加法遵循的是不同的法则。

什么时候会用到分数乘法

当你要求“部分中的部分”时，就会用到分数乘法。这在食谱、比例模型、含有连续步骤的概率问题以及单位换算中都很常见。

例如，如果一个食谱需要 $\frac{3}{4}$ 杯牛奶，而你只做这份食谱的 $\frac{2}{3}$，那么你需要的牛奶就是 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ 杯。

试做一道类似的题

试着计算 $\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$。如果可以，先约分再相乘，然后检查答案是否合理：因为这两个正分数都小于 $1$，所以乘积也应该小于任意一个因数。如果你想紧接着再看一种情况，可以继续学习分数除法，并比较法则是怎样变化的。