분수 곱셈 — 계산법과 풀이 예제

분수의 곱셈은 분자끼리 곱하고, 분모끼리 곱한 뒤, 가능하면 결과를 약분하면 됩니다. 공통분모는 필요하지 않습니다. 예를 들어, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$입니다.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

이 규칙은 $b \ne 0$이고 $d \ne 0$일 때 성립합니다. 쉽게 말해, 분수의 곱셈은 흔히 "어떤 분수의 또 다른 분수만큼"을 구하는 뜻입니다.

분수 곱셈이 "의"를 뜻하는 이유

가장 빠르게 이해하는 방법은 곱셈을 "~의"로 읽는 것입니다. 예를 들어, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$는 "4분의 3의 3분의 2"라는 뜻입니다.

전체의 $\frac{3}{4}$가 있고, 그 양의 $\frac{2}{3}$를 다시 구하면 결과는 반드시 $\frac{3}{4}$보다 작아야 합니다. 실제로 곱셈 규칙을 적용하면 바로 그런 결과가 나옵니다.

풀이 예제: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

다음을 구해 봅시다.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

1단계: 분자끼리 곱합니다.

$$2 \times 3 = 6$$

2단계: 분모끼리 곱합니다.

$$3 \times 4 = 12$$

따라서

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$$

이제 약분합니다.

$$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

즉, $\frac{3}{4}$의 $\frac{2}{3}$는 $\frac{1}{2}$입니다. 원래 $1$보다 작은 양의 일부를 구하고 있으므로 답이 이렇게 나오는 것은 자연스럽습니다.

곱하기 전에 분자와 분모에 있는 $3$을 약분해서 더 빠르게 계산할 수도 있습니다. 결과는 같습니다.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

이 방법이 가능한 이유는 덧셈이나 뺄셈이 아니라 곱셈에서 공통인수를 약분하고 있기 때문입니다.

분수에 자연수를 곱하는 방법

한 인수가 자연수라면 먼저 분모가 $1$인 분수로 씁니다.

예를 들어,

$$3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$$

대분수로 나타내고 싶다면,

$$\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$$

분수 곱셈에서 자주 하는 실수

덧셈 규칙을 잘못 사용하는 경우

학생들은 가끔

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2+3}{3+4}$$

처럼 쓰기도 합니다.

이것은 올바른 규칙이 아닙니다. 곱셈에서는 위의 수끼리, 아래의 수끼리 곱해야 합니다.

먼저 공통분모를 찾으려는 경우

공통분모는 분수를 더하거나 뺄 때 필요하지, 곱할 때는 필요하지 않습니다. 분수의 곱셈은 바로 분자끼리 곱하고 분모끼리 곱하면 됩니다.

약분을 빼먹는 경우

$\frac{6}{12}$와 $\frac{1}{2}$는 같은 값을 나타내지만, $\frac{1}{2}$가 더 간단한 최종 답입니다.

잘못된 상황에서 약분하는 경우

공통인수의 약분은 다음과 같은 곱셈에서는 가능합니다.

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

하지만 다음과 같은 덧셈에서는 할 수 없습니다.

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

덧셈은 다른 규칙을 따르기 때문입니다.

분수 곱셈을 사용하는 때

분수 곱셈은 "일부분의 또 일부분"을 구할 때마다 등장합니다. 요리 레시피, 축척 모형, 연속된 단계가 있는 확률, 단위 변환 등에서 자주 쓰입니다.

예를 들어, 어떤 레시피에 우유가 $\frac{3}{4}$컵 들어가는데 그 레시피의 $\frac{2}{3}$만 만들고 싶다면, 필요한 우유의 양은 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$컵입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$를 풀어 보세요. 가능하면 곱하기 전에 먼저 약분하고, 답이 타당한지도 확인해 보세요. 두 양의 분수가 모두 $1$보다 작으므로 곱한 결과도 각 인수보다 작아야 합니다. 바로 다음 단계로 다른 경우를 보고 싶다면 분수 나눗셈도 함께 살펴보며 규칙이 어떻게 달라지는지 비교해 보세요.