分数のかけ算 — ルールと例題でわかる

分数のかけ算は、分子どうしをかけ、分母どうしをかけ、できれば結果を約分します。通分は必要ありません。たとえば、$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ です。

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

このルールは $b \ne 0$ と $d \ne 0$ を前提としています。わかりやすく言うと、分数のかけ算は「ある分数の何分のいくつ」を求めることが多いです。

なぜ分数のかけ算は「〜の」を意味するのか

いちばんつかみやすい考え方は、かけ算を「〜の」と読むことです。たとえば、$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ は「$\frac{3}{4}$ の $\frac{2}{3}$」という意味です。

全体の $\frac{3}{4}$ があって、その量のさらに $\frac{2}{3}$ をとるなら、結果は $\frac{3}{4}$ より小さくなるはずです。実際に、かけ算のルールでもその通りの結果になります。

例題：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

次を求めます。

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

ステップ1：分子どうしをかけます。

$$2 \times 3 = 6$$

ステップ2：分母どうしをかけます。

$$3 \times 4 = 12$$

したがって、

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$$

これを約分すると、

$$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

よって、$\frac{3}{4}$ の $\frac{2}{3}$ は $\frac{1}{2}$ です。もとの量がすでに $1$ より小さいので、その一部をとる答えがさらに小さくなるのは自然です。

また、かける前に分子と分母の $3$ を約分できることにも気づけます。すると、同じ答えをもっと速く求められます。

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

この近道が使えるのは、たし算やひき算ではなく、かけ算の中で共通因数を約分しているからです。

分数に整数をかける方法

一方の因数が整数なら、まず分母が $1$ の分数に直します。

たとえば、

$$3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$$

帯分数で表したいなら、

$$\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$$

分数のかけ算でよくある間違い

たし算のルールを使ってしまう

次のように書いてしまうことがあります。

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2+3}{3+4}$$

これはルールが違います。かけ算では、上どうし、下どうしをかけます。

先に通分しようとしてしまう

通分が必要なのは、分数をたしたりひいたりするときです。かけ算では必要ありません。すぐに分子どうし、分母どうしをかければ大丈夫です。

約分を忘れる

$\frac{6}{12}$ と $\frac{1}{2}$ は同じ値を表しますが、$\frac{1}{2}$ のほうがより簡単な最終的な答えです。

間違った場面で約分してしまう

共通因数の約分が使えるのは、次のような積です。

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

次のようなたし算では使えません。

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

たし算には別のルールがあるからです。

分数のかけ算を使う場面

分数のかけ算は、「一部のさらに一部」を求めるときに出てきます。これは、レシピ、縮尺模型、連続する段階がある確率、単位変換などでよく使われます。

たとえば、レシピで牛乳を $\frac{3}{4}$ カップ使い、そのレシピの $\frac{2}{3}$ だけ作りたいなら、必要な牛乳は $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ カップです。

似た問題に挑戦してみよう

$\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$ をやってみましょう。できるなら先に約分してからかけて、答えが自然かどうかも確かめてみてください。どちらも $1$ より小さい正の分数なので、積もそれぞれの因数より小さくなるはずです。続けて別の例も見たいなら、次は分数のわり算を学んで、ルールがどう変わるか比べてみましょう。