Brüche multiplizieren — Regeln & Beispiele

Um Brüche zu multiplizieren, multiplizierst du die Zähler, multiplizierst die Nenner und kürzt das Ergebnis, wenn möglich. Du brauchst keinen gemeinsamen Nenner. Zum Beispiel gilt: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

Diese Regel setzt voraus, dass $b \ne 0$ und $d \ne 0$ sind. Einfach gesagt bedeutet das Multiplizieren von Brüchen oft: „einen Bruchteil von einem anderen Bruch nehmen“.

Warum Brüche multiplizieren „von“ bedeutet

Die schnellste Vorstellung ist, Multiplikation als „von“ zu lesen. Zum Beispiel bedeutet $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$: „zwei Drittel von drei Vierteln“.

Wenn du mit $\frac{3}{4}$ eines Ganzen beginnst und dann $\frac{2}{3}$ dieser Menge nimmst, muss das Ergebnis kleiner als $\frac{3}{4}$ sein. Genau das liefert die Multiplikationsregel.

Beispiel: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

Berechne

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

Schritt 1: Multipliziere die Zähler.

$$2 \times 3 = 6$$

Schritt 2: Multipliziere die Nenner.

$$3 \times 4 = 12$$

Also gilt

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$$

Jetzt kürzen:

$$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Also sind $\frac{2}{3}$ von $\frac{3}{4}$ gleich $\frac{1}{2}$. Das Ergebnis ist sinnvoll, weil du einen Teil einer Größe nimmst, die selbst schon kleiner als $1$ ist.

Du kannst auch sehen, dass sich die $3$ im Zähler und Nenner vor dem Multiplizieren wegkürzt. So kommst du schneller zum gleichen Ergebnis:

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Diese Abkürzung ist hier erlaubt, weil du gemeinsame Faktoren in einem Produkt kürzt, nicht bei einer Addition oder Subtraktion.

So multiplizierst du einen Bruch mit einer ganzen Zahl

Wenn ein Faktor eine ganze Zahl ist, schreibe sie zuerst als Bruch mit dem Nenner $1$.

Zum Beispiel:

$$3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$$

Wenn du eine gemischte Zahl möchtest,

$$\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$$

Häufige Fehler beim Multiplizieren von Brüchen

Aus Versehen die Additionsregel verwenden

Manche Schülerinnen und Schüler schreiben

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2+3}{3+4}$$

Das ist nicht die Regel. Beim Multiplizieren gilt: oben mal oben und unten mal unten.

Zuerst nach einem gemeinsamen Nenner suchen

Einen gemeinsamen Nenner brauchst du beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen, nicht beim Multiplizieren. Beim Multiplizieren kannst du direkt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen.

Das Kürzen vergessen

$\frac{6}{12}$ und $\frac{1}{2}$ haben denselben Wert, aber $\frac{1}{2}$ ist die einfachere Endform.

Im falschen Zusammenhang kürzen

Gemeinsame Faktoren zu kürzen funktioniert bei Produkten wie

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

Es funktioniert nicht bei einer Addition wie

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

denn für die Addition gilt eine andere Regel.

Wann du das Multiplizieren von Brüchen brauchst

Brüche zu multiplizieren brauchst du immer dann, wenn du einen Teil von einem Teil bestimmen willst. Das kommt bei Rezepten, Maßstabsmodellen, Wahrscheinlichkeiten mit abhängigen Schritten und bei Umrechnungen von Maßeinheiten vor.

Wenn ein Rezept zum Beispiel $\frac{3}{4}$ Tasse Milch braucht und du $\frac{2}{3}$ des Rezepts machen willst, dann brauchst du $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ Tasse Milch.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche $\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$. Kürze wenn möglich vor dem Multiplizieren und prüfe dann, ob dein Ergebnis sinnvoll ist: Weil beide positiven Brüche kleiner als $1$ sind, sollte auch das Produkt kleiner als jeder der beiden Faktoren sein. Wenn du direkt danach noch einen ähnlichen Fall sehen möchtest, schau dir als Nächstes das Dividieren von Brüchen an und vergleiche, wie sich die Regel ändert.