分数除法——倒数相乘法

做分数除法时，保留第一个分数，把除数倒过来，再相乘。这个快捷方法成立的前提是除数不为零。

例如，

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

这里答案变大了，因为除以 $\frac{1}{2}$ 的意思是：$\frac{3}{4}$ 里面能装下多少个二分之一。

一般来说，

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

前提是 $b \ne 0$、$d \ne 0$，并且 $\frac{c}{d} \ne 0$。

如何做分数除法

倒过来的那个分数叫作倒数。$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$，因为分子和分母交换了位置。

按下面的步骤做：

1. 第一个分数保持不变。
2. 把第二个分数，也就是除数，倒过来。
3. 直接相乘。
4. 化简结果。

为什么“倒数相乘”成立

除以一个数，等于乘以它的乘法逆元。对于非零分数 $\frac{c}{d}$，它的逆元是 $\frac{d}{c}$，因为

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

所以，除以 $\frac{c}{d}$ 和乘以 $\frac{d}{c}$ 的结果相同。这就是这条规则成立的原因，而不只是一个死记硬背的小技巧。

例题：$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

先写出

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

保留第一个分数，把除数倒过来：

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

相乘：

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

化简：

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

所以

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

用文字来理解也很合理：“四分之三里面有多少个二分之一？”答案是 $1\frac{1}{2}$ 个二分之一。

为什么除以分数，答案可能反而更大

很多同学会觉得，做除法后数应该变小。这个想法在除以大于 $1$ 的正数时是对的，但在除以小于 $1$ 的正分数时就不一定了。

如果你除以 $\frac{1}{2}$，其实是在数“有多少个二分之一”。因为二分之一比一个整体更小，所以原来的量里往往能装下不止一个二分之一。这就是为什么 $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ 会比 $\frac{3}{4}$ 更大。

分数除法中的常见错误

把错误的分数倒过来

只有第二个分数，也就是除数，需要倒过来。第一个分数保持不变。

忘记零的条件

你不能除以 $0$，所以除数不能是零分数。例如，$\frac{5}{6} \div 0$ 是没有定义的。

分子除分子、分母除分母

这不是分数除法的规则。把除数倒过来以后，应该做的是直接相乘。

忘记把整数写成分数

如果题目里出现整数，把它写成分母为 $1$ 的分数。例如，$2 \div \frac{2}{3}$ 就是 $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$。

漏掉了容易的化简

你可以先乘完再化简，但有时先约去公因数会更方便。只要运算过程正确，这两种方法都可以。

什么时候会用到分数除法

分数除法常见于测量、食谱、单位率和比例缩放问题中。如果你知道每一份的大小，想求总量里能分出多少份，这时通常就要用分数除法来建模。

例如，如果一份配方要用 $\frac{2}{3}$ 杯牛奶，而你有 $2$ 杯牛奶，那么“我能做几份？”这个问题就变成

$$2 \div \frac{2}{3}$$

虽然其中一个数是整数，但这仍然是分数除法。

继续之前，快速检查一下

算完以后，问问自己答案的大小是否合理。

• 如果除以一个小于 $1$ 的正分数，结果应该变大。
• 如果除以一个大于 $1$ 的正数，结果应该变小。

这不能代替正式计算，但它是发现分数倒错或符号出错的好方法。

试一道类似的题

试着计算 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$，并在动手前先判断答案应该比 $\frac{5}{6}$ 小还是大。如果你还想再找一道题检查步骤，可以用 GPAI Solver 解一道类似的问题。