Mnożenie ułamków — zasady i przykłady krok po kroku

Aby pomnożyć ułamki, pomnóż liczniki, pomnóż mianowniki i w miarę możliwości uprość wynik. Nie potrzebujesz wspólnego mianownika. Na przykład $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

Ta zasada zakłada, że $b \ne 0$ i $d \ne 0$. Mówiąc prościej, mnożenie ułamków często oznacza „wziąć ułamek z innego ułamka”.

Dlaczego mnożenie ułamków oznacza „z”

Najprościej jest odczytywać mnożenie jako „z”. Na przykład $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ oznacza „dwie trzecie z trzech czwartych”.

Jeśli zaczynasz od $\frac{3}{4}$ całości, a potem bierzesz z tej ilości $\frac{2}{3}$, wynik musi być mniejszy niż $\frac{3}{4}$. Dokładnie taki wynik daje reguła mnożenia.

Przykład krok po kroku: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

Oblicz

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

Krok 1: pomnóż liczniki.

$$2 \times 3 = 6$$

Krok 2: pomnóż mianowniki.

$$3 \times 4 = 12$$

Zatem

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$$

Teraz uprość:

$$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Czyli $\frac{2}{3}$ z $\frac{3}{4}$ to $\frac{1}{2}$. Taki wynik ma sens, bo bierzesz część wielkości, która już jest mniejsza od $1$.

Możesz też zauważyć, że $3$ w liczniku i mianowniku skraca się przed mnożeniem, co pozwala szybciej otrzymać ten sam wynik:

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Ten skrót jest tutaj poprawny, ponieważ skracasz wspólne czynniki w mnożeniu, a nie w dodawaniu czy odejmowaniu.

Jak pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą

Jeśli jednym z czynników jest liczba całkowita, najpierw zapisz ją w postaci ułamka o mianowniku $1$.

Na przykład

$$3 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{8}$$

Jeśli chcesz zapisać wynik jako liczbę mieszaną,

$$\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$$

Najczęstsze błędy przy mnożeniu ułamków

Mylenie z zasadami dodawania

Uczniowie czasem zapisują

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2+3}{3+4}$$

To nie jest poprawna zasada. Przy mnożeniu mnożysz górę przez górę i dół przez dół.

Szukanie najpierw wspólnego mianownika

Wspólny mianownik jest potrzebny przy dodawaniu lub odejmowaniu ułamków, a nie przy ich mnożeniu. Przy mnożeniu możesz od razu pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Zapominanie o uproszczeniu wyniku

$\frac{6}{12}$ i $\frac{1}{2}$ oznaczają tę samą wartość, ale $\frac{1}{2}$ jest prostszą odpowiedzią końcową.

Skracanie w niewłaściwej sytuacji

Skracanie wspólnych czynników działa w iloczynach takich jak

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

Nie działa natomiast przy dodawaniu, na przykład

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

ponieważ dodawanie rządzi się inną zasadą.

Kiedy używa się mnożenia ułamków

Mnożenie ułamków pojawia się zawsze wtedy, gdy trzeba obliczyć część z części. Dzieje się tak w przepisach kulinarnych, modelach w skali, prawdopodobieństwie z zależnymi etapami i przy przeliczaniu jednostek.

Na przykład jeśli przepis wymaga $\frac{3}{4}$ szklanki mleka, a chcesz przygotować $\frac{2}{3}$ porcji, potrzebujesz $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ szklanki mleka.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć $\frac{5}{6} \times \frac{2}{5}$. Jeśli możesz, uprość przed mnożeniem, a potem sprawdź, czy odpowiedź ma sens: ponieważ oba dodatnie ułamki są mniejsze od $1$, iloczyn też powinien być mniejszy od każdego z czynników. Jeśli chcesz od razu przejść do podobnego przypadku, zobacz następnie dzielenie ułamków i porównaj, jak zmienia się reguła.