积分——规则与例题

积分既可以表示求一个原函数，也可以表示把变化量累加起来。在大多数微积分入门题里，“对这个函数积分”通常是指：求一个导数等于被积函数的函数。

对于不定积分，

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

表示 $F'(x) = f(x)$。这里的 $+C$ 很重要，因为同一个函数的任意两个原函数可能只相差一个常数。

如果积分有上下限，例如 $\int_a^b f(x)\,dx$，它表示区间 $[a,b]$ 上的净累积量。在几何中，它通常表示带符号面积。在实际应用中，它也可以表示某个量随时间不断累积。

应该先尝试哪条积分规则？

先观察被积函数的形式。

• 如果被积函数是和或差，就逐项积分。
• 如果有常数倍，可以把常数提到积分号外。
• 如果表达式符合某个标准形式，就使用对应的原函数公式。
• 如果被积函数是乘积、商，或复合函数，基本规则可能就不够用了。

这很重要，因为积分不像求导那样机械。没有一条规则能直接处理所有表达式。

你应该掌握的基本积分规则

常数倍与求和规则

如果 $a$ 和 $b$ 是常数，那么：

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

这就是为什么可以逐项积分。

幂函数积分法则

如果 $n \ne -1$，那么：

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

例子：$\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$。

特殊情形：$\int \frac{1}{x}\,dx$

当指数是 $-1$ 时，幂函数法则不适用。此时应当用

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

绝对值很重要，因为当 $x \ne 0$ 时，$\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$。

常见的标准原函数

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

这些结果要一眼就能认出来，因为它们在初等积分题中非常常见。

为什么积分像是在“反过来做求导”

求导问的是：“这个函数此刻变化得有多快？” 积分问的则是相反的问题：“哪个函数会产生这样的变化率？”

这就是为什么把答案再求导来检查积分结果非常有用。如果导数能回到原来的被积函数，那么这个原函数就是正确的。

积分例题：结合三条基本规则

求

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

这是一个和式，所以分别对每一项积分。

第一项使用幂函数法则：

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

第二项使用对数的特殊情形：

$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\ln|x|$$

第三项使用标准三角函数积分公式：

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

现在把结果合并：

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C$$

再通过求导检查：

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x$$

这种检查特别适合发现漏掉的符号错误和常数错误。

常见积分错误

1. 在不定积分中忘记写 $+C$。
2. 对 $x^{-1}$ 误用幂函数法则。这个情形应是 $\ln|x| + C$，不是幂函数法则的结果。
3. 把乘积错误拆开，好像 $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \int g(x)\,dx$。一般来说，这是错的。
4. 直接把求导公式反着抄，却没有检查符号。例如，$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$。

定积分在什么时候使用

只要某个量是由许多微小变化累积而成的，就会用到积分。

• 在几何中，定积分可以表示曲线下方的带符号面积。
• 在物理中，对速度积分可以得到某个区间上的位移。
• 在经济学或工程中，积分可以用来刻画累计成本、增长或流量。

具体条件很重要。比如，如果速度会变号，那么对速度积分得到的是净位移，而不是总路程。

什么时候基本规则不再够用

当被积函数本身就符合熟悉的形式时，基本规则很好用。如果不符合，你可能需要换元积分法、分部积分法，或其他技巧。

这也是一个很有用的判断点：如果某个公式不能自然匹配，就不要硬套。

试试一个类似的积分

试做

$$\int \left(5x^2 + \frac{3}{x} - 4\sin x\right)\,dx$$

然后对你的答案求导进行检查。如果你能解释为什么中间那一项会变成对数，就说明你已经理解了幂函数积分法则中最关键的例外。