要画波特图，先把传递函数因式分解，再在对数频率轴上叠加每个增益、极点和零点的影响。通常需要画两张图：G(jω)G(j\omega) 的幅值图（单位 dB）和相位图（单位度）。

对于传递函数 G(s)G(s)，标准量为

magnitude in dB=20log⁡10∣G(jω)∣\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|

以及

phase=∠G(jω).\text{phase} = \angle G(j\omega).

关键的简化在于：传递函数中的乘法，在波特图上会变成加法。这就是为什么即使表达式很复杂，也仍然可以手工快速画出草图。

如何快速绘制波特图

按下面的顺序进行：

  1. 将传递函数改写成简单因子的乘积。
  2. 在对数频率轴上标出每个转折频率。
  3. 以 dB 为单位叠加每个因子的幅值贡献。
  4. 叠加每个因子的相位贡献。

一种常见的因式分解形式是

G(s)=K∏(1+s/ωz)sm∏(1+s/ωp).G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.

这里，KK 是常数增益，每个 ωz\omega_z 是零点频率，每个 ωp\omega_p 是极点频率。

每个因子的作用

常数增益 KK

  • 幅值：在所有频率上都加上 20log⁡10∣K∣20 \log_{10}|K| dB。
  • 相位：若 K>0K > 0，加上 0∘0^\circ。若 K<0K < 0，则相位会按你的角度约定相差 180∘180^\circ。

位于 ωz\omega_z 的零点

对于因子 (1+s/ωz)(1 + s / \omega_z)：

  • 幅值：在 ωz\omega_z 之前大约为 00 dB，过了 ωz\omega_z 后斜率变为 +20+20 dB/decade。
  • 相位：在 ωz\omega_z 附近的过渡区内，从约 0∘0^\circ 上升到约 +90∘+90^\circ。

位于 ωp\omega_p 的极点

对于分母中的因子 (1+s/ωp)(1 + s / \omega_p)：

  • 幅值：在 ωp\omega_p 之前大约为 00 dB，过了 ωp\omega_p 后斜率变为 −20-20 dB/decade。
  • 相位：在 ωp\omega_p 附近的过渡区内，从约 0∘0^\circ 下降到约 −90∘-90^\circ。

原点处的极点或零点

对于分母中的因子 ss：

  • 幅值：在所有频率上斜率都是 −20-20 dB/decade。
  • 相位：恒为 −90∘-90^\circ。

对于分子中的因子 ss：

  • 幅值：在所有频率上斜率都是 +20+20 dB/decade。
  • 相位：恒为 +90∘+90^\circ。

这些直线只是渐近线，并不是精确曲线。在转折频率附近，真实图像会平滑弯折。

例题：绘制 G(s)=10s(1+s/10)G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}

这个例子包含一个常数增益、一个原点极点，以及一个位于 ω=10\omega = 10 的一阶极点。它足以展示完整的作图过程，同时又不会引入太多额外代数运算。

第 1 步：代入 s=jωs = j\omega

G(jω)=10jω(1+jω/10).G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.

第 2 步：绘制幅频图

精确幅值为

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

因此，以分贝表示的精确幅值为

20log⁡10∣G(jω)∣=20−20log⁡10ω−10log⁡10(1+(ω/10)2).20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).

手工画草图时，按因子逐个叠加会更快：

  • 增益 1010：处处为 +20+20 dB。
  • 原点极点：处处斜率为 −20-20 dB/decade。
  • 位于 1010 的极点：在 ω=10\omega = 10 之前不额外改变斜率，之后再增加一个 −20-20 dB/decade 的斜率。

所以总斜率为：

  • 当 ω<10\omega < 10 时，为 −20-20 dB/decade
  • 当 ω>10\omega > 10 时，为 −40-40 dB/decade

用一个锚点来确定直线位置。在 ω=1\omega = 1 时，

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

因此

20log⁡10(9.95)≈20 dB.20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.

这说明直线近似图在 ω=1\omega = 1 附近位于 2020 dB 左右。它在 ω=10\omega = 10 时大约到达 00 dB，之后以 −40-40 dB/decade 的斜率继续下降。

在拐角频率处，精确曲线会低于渐近线。对于一阶极点，差值大约是 33 dB，因此这里

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

约为 −3-3 dB。

第 3 步：绘制相频图

相位等于各个相位贡献之和：

  • 原点极点：−90∘-90^\circ
  • 位于 1010 的极点：−tan⁡−1(ω/10)-\tan^{-1}(\omega / 10)

因此精确相位为

∠G(jω)=−90∘−tan⁡−1(ω/10).\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).

这样可以得到三个清晰的检查点：

  • 在很低频时，相位接近 −90∘-90^\circ。
  • 在 ω=10\omega = 10 时，相位为 −135∘-135^\circ。
  • 在很高频时，相位趋近于 −180∘-180^\circ。

快速作图时，可使用常见的一阶近似：相位变化从大约 ωp/10\omega_p / 10 开始，在 ωp\omega_p 处经过 −45∘-45^\circ，并在接近 10ωp10\omega_p 时结束。这里额外的相位下降大致发生在 ω=1\omega = 1 到 ω=100\omega = 100 之间。

画完的波特图能告诉你什么

草图完成后，你就可以快速读出系统的行为。

  • 在这个例子中，高频比低频受到更强的衰减。
  • ω=10\omega = 10 处的转折点表示滚降变得更陡。
  • 随着频率升高，相位滞后不断增大。

这种组合是带有积分环节的低通响应的典型特征。

波特图中的常见错误

  • 使用线性频率轴，而不是对数频率轴。
  • 在图上把幅值直接相乘，而不是以 dB 相加。
  • 对幅度比使用 10log⁡1010 \log_{10}。对于传递函数幅值，应使用 20log⁡10∣G(jω)∣20 \log_{10}|G(j\omega)|。
  • 忘记原点处的极点或零点，这会改变整个频段的斜率。
  • 把直线草图当成拐角频率附近的精确曲线。

波特图的应用场景

当你关心系统对不同频率的响应时，波特图非常有用。

  • 在电子学中，它用于描述滤波器和放大器。
  • 在控制中，它有助于估计带宽、交越特性和相位滞后。
  • 在信号处理中，它能显示哪些频率被通过，哪些频率被抑制。

当系统是线性时不变系统，并且传递函数可以写成极点和零点形式时，波特图尤其有帮助。

试着画一个类似的例子

你可以自己试试下面这个系统：

G(s)=5(1+s/2)s(1+s/20).G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.

先标出转折频率，再逐个因子叠加斜率和相位变化。如果你想再进一步，可以把你的草图与绘图工具生成的图像进行比较，看看直线近似在哪些地方偏差最大。

需要解题帮助？

上传你的问题，几秒钟内获得经过验证的分步解答。

打开 GPAI Solver →