Diagrama de Bode — Cómo dibujarlo

Para dibujar un diagrama de Bode, primero factoriza la función de transferencia y luego suma el efecto de cada ganancia, polo y cero sobre un eje de frecuencia logarítmico. Normalmente se trazan dos gráficas: magnitud en dB y fase en grados para $G(j\omega)$.

Para una función de transferencia $G(s)$, las cantidades estándar son

$$\text{magnitud en dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

y

$$\text{fase} = \angle G(j\omega).$$

La simplificación clave es que la multiplicación en la función de transferencia se convierte en suma en el diagrama de Bode. Por eso, incluso una expresión complicada puede esbozarse a mano.

Cómo Dibujar Un Diagrama De Bode Rápidamente

Sigue este orden:

1. Reescribe la función de transferencia como factores simples.
2. Marca cada frecuencia de quiebre en un eje de frecuencia logarítmico.
3. Suma la contribución de magnitud de cada factor en dB.
4. Suma la contribución de fase de cada factor.

Una forma factorizada común es

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Aquí, $K$ es una ganancia constante, cada $\omega_z$ es una frecuencia de cero y cada $\omega_p$ es una frecuencia de polo.

Qué Hace Cada Factor

Ganancia Constante $K$

• Magnitud: suma $20 \log_{10}|K|$ dB en todas partes.
• Fase: suma $0^\circ$ si $K > 0$. Si $K < 0$, la fase difiere en $180^\circ$ según tu convención de ángulo.

Cero En $\omega_z$

Para un factor $(1 + s / \omega_z)$:

• Magnitud: aproximadamente $0$ dB antes de $\omega_z$, luego pendiente de $+20$ dB/década después de $\omega_z$.
• Fase: sube desde aproximadamente $0^\circ$ hasta aproximadamente $+90^\circ$ a lo largo de la transición alrededor de $\omega_z$.

Polo En $\omega_p$

Para un factor $(1 + s / \omega_p)$ en el denominador:

• Magnitud: aproximadamente $0$ dB antes de $\omega_p$, luego pendiente de $-20$ dB/década después de $\omega_p$.
• Fase: baja desde aproximadamente $0^\circ$ hasta aproximadamente $-90^\circ$ a lo largo de la transición alrededor de $\omega_p$.

Polo O Cero En El Origen

Para un factor $s$ en el denominador:

• Magnitud: pendiente de $-20$ dB/década en todas las frecuencias.
• Fase: constante de $-90^\circ$.

Para un factor $s$ en el numerador:

• Magnitud: pendiente de $+20$ dB/década en todas las frecuencias.
• Fase: constante de $+90^\circ$.

Estas líneas rectas son asíntotas, no curvas exactas. Cerca de una frecuencia de quiebre, la gráfica real se curva suavemente.

Ejemplo Resuelto: Dibujar $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Este ejemplo tiene una ganancia constante, un polo en el origen y un polo de primer orden en $\omega = 10$. Eso basta para mostrar todo el proceso de trazado sin álgebra extra.

Paso 1: Sustituye $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Paso 2: Traza La Gráfica De Magnitud

La magnitud exacta es

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Así que la magnitud exacta en decibelios es

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Para un croquis a mano, es más rápido sumar las contribuciones factor por factor:

• Ganancia $10$: $+20$ dB en todas partes.
• Polo en el origen: pendiente de $-20$ dB/década en todas partes.
• Polo en $10$: sin pendiente extra antes de $\omega = 10$, luego otra pendiente de $-20$ dB/década después.

Así que la pendiente total es:

• $-20$ dB/década para $\omega < 10$
• $-40$ dB/década para $\omega > 10$

Usa un punto de referencia para colocar la recta. En $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

así que

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Eso sitúa el croquis de líneas rectas cerca de $20$ dB en $\omega = 1$. Llega aproximadamente a $0$ dB en $\omega = 10$ y luego cae con pendiente de $-40$ dB/década después del quiebre.

En la frecuencia de esquina, la curva exacta está por debajo de la asíntota. Para un polo de primer orden, la diferencia es de unos $3$ dB, así que aquí

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

que es aproximadamente $-3$ dB.

Paso 3: Traza La Gráfica De Fase

La fase es la suma de las contribuciones de fase:

• polo en el origen: $-90^\circ$
• polo en $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Así que la fase exacta es

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Eso da tres puntos de control claros:

• A frecuencia muy baja, la fase está cerca de $-90^\circ$.
• En $\omega = 10$, la fase es $-135^\circ$.
• A frecuencia muy alta, la fase se aproxima a $-180^\circ$.

Para un croquis rápido, usa la aproximación habitual de primer orden: empieza el cambio de fase alrededor de $\omega_p / 10$, pasa por $-45^\circ$ en $\omega_p$ y termina cerca de $10\omega_p$. Aquí, la caída extra de fase ocurre aproximadamente desde $\omega = 1$ hasta $\omega = 100$.

Qué Te Dice El Diagrama De Bode Final

Una vez hecho el croquis, puedes leer el comportamiento rápidamente.

• En este ejemplo, las altas frecuencias se atenúan más fuertemente que las bajas.
• El quiebre en $\omega = 10$ es donde la caída se vuelve más pronunciada.
• El desfase aumenta a medida que crece la frecuencia.

Esa combinación es típica de una respuesta pasa-bajos con un integrador.

Errores Comunes En Diagramas De Bode

• Usar un eje de frecuencia lineal en lugar de uno logarítmico.
• Multiplicar magnitudes en la gráfica en vez de sumarlas en dB.
• Usar $10 \log_{10}$ para razones de amplitud. Para la magnitud de la función de transferencia, usa $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Olvidar un polo o cero en el origen, lo que cambia la pendiente en todas partes.
• Tratar el croquis de líneas rectas como si fuera exacto cerca de una frecuencia de esquina.

Cuándo Se Usan Los Diagramas De Bode

Los diagramas de Bode son útiles cuando te importa cómo responde un sistema a distintas frecuencias.

• En electrónica, describen filtros y amplificadores.
• En control, ayudan a estimar ancho de banda, comportamiento de cruce y desfase.
• En procesamiento de señales, muestran qué frecuencias pasan o se atenúan.

Son especialmente útiles cuando el sistema es lineal e invariante en el tiempo y la función de transferencia puede escribirse en términos de polos y ceros.

Prueba Un Croquis Similar

Prueba tu propia versión con

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Marca primero las frecuencias de quiebre y luego suma los cambios de pendiente y fase, un factor a la vez. Si quieres ir un paso más allá, compara tu croquis con una herramienta de graficación y revisa dónde difiere más la aproximación de líneas rectas.