Diagramma di Bode — Come tracciarlo

Per tracciare un diagramma di Bode, per prima cosa scomponi in fattori la funzione di trasferimento, poi somma l’effetto di ogni guadagno, polo e zero su un asse delle frequenze logaritmico. Di solito si disegnano due grafici: il modulo in dB e la fase in gradi di $G(j\omega)$.

Per una funzione di trasferimento $G(s)$, le quantità standard sono

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

e

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

La semplificazione chiave è che la moltiplicazione nella funzione di trasferimento diventa addizione nel diagramma di Bode. Per questo anche un’espressione complicata può comunque essere tracciata a mano.

Come tracciare rapidamente un diagramma di Bode

Segui questo ordine:

1. Riscrivi la funzione di trasferimento come prodotto di fattori semplici.
2. Segna ogni frequenza di spezzata su un asse logaritmico delle frequenze.
3. Somma il contributo del modulo di ciascun fattore in dB.
4. Somma il contributo di fase di ciascun fattore.

Una forma fattorizzata comune è

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Qui $K$ è un guadagno costante, ogni $\omega_z$ è una frequenza di zero e ogni $\omega_p$ è una frequenza di polo.

Cosa fa ciascun fattore

Guadagno costante $K$

• Modulo: aggiungi $20 \log_{10}|K|$ dB ovunque.
• Fase: aggiungi $0^\circ$ se $K > 0$. Se $K < 0$, la fase differisce di $180^\circ$ a seconda della convenzione sugli angoli.

Zero in $\omega_z$

Per un fattore $(1 + s / \omega_z)$:

• Modulo: circa $0$ dB prima di $\omega_z$, poi pendenza di $+20$ dB/decade dopo $\omega_z$.
• Fase: cresce da circa $0^\circ$ a circa $+90^\circ$ nella transizione attorno a $\omega_z$.

Polo in $\omega_p$

Per un fattore $(1 + s / \omega_p)$ al denominatore:

• Modulo: circa $0$ dB prima di $\omega_p$, poi pendenza di $-20$ dB/decade dopo $\omega_p$.
• Fase: scende da circa $0^\circ$ a circa $-90^\circ$ nella transizione attorno a $\omega_p$.

Polo o zero all’origine

Per un fattore $s$ al denominatore:

• Modulo: pendenza di $-20$ dB/decade a tutte le frequenze.
• Fase: costante pari a $-90^\circ$.

Per un fattore $s$ al numeratore:

• Modulo: pendenza di $+20$ dB/decade a tutte le frequenze.
• Fase: costante pari a $+90^\circ$.

Queste rette sono asintoti, non curve esatte. Vicino a una frequenza di spezzata, il grafico reale si incurva in modo regolare.

Esempio svolto: traccia $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Questo esempio ha un guadagno costante, un polo all’origine e un polo del primo ordine in $\omega = 10$. Basta questo per mostrare l’intero procedimento di tracciamento senza algebra aggiuntiva.

Passo 1: sostituisci $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Passo 2: traccia il diagramma del modulo

Il modulo esatto è

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Quindi il modulo esatto in decibel è

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Per uno schizzo a mano, è più veloce sommare i contributi fattore per fattore:

• Guadagno $10$: $+20$ dB ovunque.
• Polo all’origine: pendenza di $-20$ dB/decade ovunque.
• Polo in $10$: nessuna pendenza aggiuntiva prima di $\omega = 10$, poi un altro $-20$ dB/decade dopo.

Quindi la pendenza totale è:

• $-20$ dB/decade per $\omega < 10$
• $-40$ dB/decade per $\omega > 10$

Usa un punto di riferimento per posizionare la retta. A $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

quindi

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Questo colloca lo schizzo a tratti lineari vicino a $20$ dB per $\omega = 1$. Arriva a circa $0$ dB a $\omega = 10$, poi scende con pendenza $-40$ dB/decade dopo la spezzata.

Alla frequenza d’angolo, la curva esatta è più bassa dell’asintoto. Per un polo del primo ordine, la differenza è di circa $3$ dB, quindi qui

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

che vale circa $-3$ dB.

Passo 3: traccia il diagramma della fase

La fase è la somma dei contributi di fase:

• polo all’origine: $-90^\circ$
• polo in $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Quindi la fase esatta è

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Questo dà tre punti di controllo chiari:

• A frequenza molto bassa, la fase è vicina a $-90^\circ$.
• A $\omega = 10$, la fase è $-135^\circ$.
• A frequenza molto alta, la fase tende a $-180^\circ$.

Per uno schizzo rapido, usa la consueta approssimazione del primo ordine: inizia la variazione di fase intorno a $\omega_p / 10$, passa per $-45^\circ$ a $\omega_p$ e termina vicino a $10\omega_p$. Qui la caduta di fase aggiuntiva avviene approssimativamente da $\omega = 1$ a $\omega = 100$.

Cosa ti dice il diagramma di Bode finale

Una volta completato lo schizzo, puoi leggere rapidamente il comportamento del sistema.

• In questo esempio, le alte frequenze sono attenuate più fortemente delle basse frequenze.
• La spezzata in $\omega = 10$ è il punto in cui il roll-off diventa più ripido.
• Il ritardo di fase cresce all’aumentare della frequenza.

Questa combinazione è tipica di una risposta passa-basso con un integratore.

Errori comuni nei diagrammi di Bode

• Usare un asse delle frequenze lineare invece di uno logaritmico.
• Moltiplicare i moduli sul grafico invece di sommarli in dB.
• Usare $10 \log_{10}$ per rapporti di ampiezza. Per il modulo della funzione di trasferimento, usa $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Dimenticare un polo o uno zero all’origine, che cambia la pendenza ovunque.
• Trattare lo schizzo a tratti lineari come esatto vicino a una frequenza d’angolo.

Quando si usano i diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode sono utili quando ti interessa capire come un sistema risponde a frequenze diverse.

• In elettronica, descrivono filtri e amplificatori.
• Nel controllo automatico, aiutano a stimare banda passante, comportamento in attraversamento e ritardo di fase.
• Nell’elaborazione dei segnali, mostrano quali frequenze vengono lasciate passare o attenuate.

Sono particolarmente utili quando il sistema è lineare e tempo-invariante e la funzione di trasferimento può essere scritta in termini di poli e zeri.

Prova uno schizzo simile

Prova una tua versione con

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Segna prima le frequenze di spezzata, poi aggiungi i cambi di pendenza e di fase un fattore alla volta. Se vuoi fare un passo in più, confronta il tuo schizzo con uno strumento di grafico e controlla dove l’approssimazione a tratti lineari differisce di più.