根轨迹法

根轨迹是控制系统中用来观察闭环极点会如何随增益变化而移动的一种方法。在标准的连续时间负反馈情形下，这个增益通常记作 $K \ge 0$，图像画在复数 $s$ 平面上。

这很重要，因为极点位置与系统行为密切相关。对于连续时间线性系统，左半平面的极点对应稳定模态，所以根轨迹能让你快速判断：改变增益会帮助稳定性，还是损害稳定性。

如果开环传递因子写成 $K G(s)H(s)$，那么闭环极点就是下面方程的解：

$$1 + K G(s)H(s) = 0$$

因此，根轨迹就是当 $K$ 变化时，所有闭环极点位置构成的集合。

根轨迹图表示什么

这张图并不是在显示任意点。它表示的是某一个特定反馈模型、某一个特定增益范围下，闭环极点可能出现的位置。

下面两个事实提供了大部分直观理解：

• 当 $K = 0$ 时，各条分支从开环极点出发。
• 当 $K \to \infty$ 时，各条分支终止于开环零点，或者趋向无穷远。

这样一来，实际问题就很简单：如果你把增益调大，极点会往哪里走？

为什么学生会用根轨迹

可以把根轨迹看成极点的运动图。你不是对每一个 $K$ 的取值都重新解一个全新的问题，而是在跟踪极点随着增益连续变化时所走过的路径。

这就是它在设计中有用的原因。你不必一个一个地测试许多不同增益，而是可以在一张图上看到整体趋势。

例题：$L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$ 的根轨迹

取开环传递因子

$$L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$$

并采用单位负反馈。闭环特征方程为

$$1 + \frac{K}{s(s+2)} = 0$$

两边同乘 $s(s+2)$：

$$s(s+2) + K = 0$$

所以

$$s^2 + 2s + K = 0$$

现在求闭环极点：

$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4K}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

这个公式已经直接展示了根轨迹的主要行为。

当 $K = 0$ 时，极点位于 $s = 0$ 和 $s = -2$。这两个点就是开环极点，因此它们是根轨迹的起点。

当 $0 < K < 1$ 时，两个极点都仍在实轴上：

$$s = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

随着 $K$ 增大，这两个极点沿实轴彼此靠近。

当 $K = 1$ 时，它们在

$$s = -1$$

处相遇。

当 $K > 1$ 时，根号内变为负数，因此极点变成一对共轭复数：

$$s = -1 \pm i\sqrt{K-1}$$

这时实部固定为 $-1$，极点沿竖直方向上下移动。

这样你就能一眼看出完整过程：

• 两条分支从 $0$ 和 $-2$ 出发。
• 它们在 $-1$ 相遇。
• 之后作为一对复共轭极点离开实轴。
• 由于没有有限零点，这两条分支会趋向无穷远。

因为对于所有 $K > 0$，实部始终为负，所以这个特定的闭环系统在所有正增益下都保持在左半平面内。这个结论依赖于这个具体例子以及连续时间这一设定。

根轨迹中的常见错误

混淆开环极点和闭环极点

根轨迹来自闭环特征方程。开环极点和零点会指导你作图，但根轨迹本身表示的是闭环极点可能移动到哪里。

忘记反馈符号

上面的标准形式使用的是负反馈，且通常取 $K \ge 0$。如果反馈符号或增益范围改变，根轨迹也会随之改变。

不说明系统设定就直接判断稳定性

对于连续时间系统，左半平面的极点表示渐近稳定。离散时间系统使用的是不同的稳定区域，因此同样的视觉判断规则不能直接照搬。

把图当成时域响应曲线

根轨迹告诉你的是极点在哪里。除非你把极点位置与某个具体模型和近似联系起来，否则它不能直接给出超调量、调节时间或响应幅值。

根轨迹法在什么时候使用

当你想调节一个增益，并理解这种调节会如何改变线性反馈系统的极点位置时，就会用到根轨迹法。

这在控制设计入门中很常见，尤其是当你希望找到一个增益，使极点保持在稳定区域内，或者把极点推向更快或更慢的响应位置时。即使软件可以直接帮你画图，这个思想仍然重要，因为它能告诉你图像真正表达的是什么。

如何开始任何一个根轨迹问题

在开始作图之前，先回答下面几个问题：

1. 特征方程是什么？
2. 开环极点和零点在哪里？
3. 你是否使用标准的负反馈结构，并且 $K \ge 0$？

如果这三点不清楚，这张图就很容易被误读。

自己试一版

试着用同样的过程分析

$$L(s) = \frac{K}{s(s+1)}$$

写出闭环特征方程，求出极点，并跟踪它们在 $K$ 增大时的变化。如果你能判断出两条分支从哪里开始，以及它们在什么时候不再是纯实数，那么你就真正理解根轨迹的核心思想了。