Bode Diyagramı — Nasıl Çizilir

Bir Bode diyagramı çizmek için önce transfer fonksiyonunu çarpanlarına ayırın, sonra logaritmik frekans ekseni üzerinde her kazanç, kutup ve sıfırın etkisini toplayın. Genellikle iki grafik çizilir: $G(j\omega)$ için dB cinsinden genlik ve derece cinsinden faz.

Bir transfer fonksiyonu $G(s)$ için standart büyüklükler şunlardır:

$$\text{dB cinsinden genlik} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

ve

$$\text{faz} = \angle G(j\omega).$$

Temel sadeleştirme şudur: transfer fonksiyonundaki çarpma, Bode diyagramında toplamaya dönüşür. Bu yüzden karmaşık bir ifade bile elle çizilebilir.

Bode Diyagramı Hızlıca Nasıl Çizilir

Şu sırayı izleyin:

1. Transfer fonksiyonunu basit çarpanlar halinde yeniden yazın.
2. Logaritmik frekans ekseninde her kırılma frekansını işaretleyin.
3. Her çarpanın genlik katkısını dB cinsinden ekleyin.
4. Her çarpanın faz katkısını ekleyin.

Yaygın bir çarpanlara ayrılmış biçim şöyledir:

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Burada $K$ sabit kazançtır, her $\omega_z$ bir sıfır frekansıdır ve her $\omega_p$ bir kutup frekansıdır.

Her Çarpanın Etkisi

Sabit Kazanç $K$

• Genlik: her yerde $20 \log_{10}|K|$ dB eklenir.
• Faz: $K > 0$ ise $0^\circ$ eklenir. $K < 0$ ise faz, açı gösterim kuralınıza bağlı olarak $180^\circ$ farklı olur.

$\omega_z$ Frekansında Sıfır

$(1 + s / \omega_z)$ çarpanı için:

• Genlik: $\omega_z$ öncesinde yaklaşık $0$ dB, $\omega_z$ sonrasında ise eğim $+20$ dB/dekad.
• Faz: $\omega_z$ çevresindeki geçiş boyunca yaklaşık $0^\circ$'den yaklaşık $+90^\circ$'ye yükselir.

$\omega_p$ Frekansında Kutup

Paydada bulunan $(1 + s / \omega_p)$ çarpanı için:

• Genlik: $\omega_p$ öncesinde yaklaşık $0$ dB, $\omega_p$ sonrasında ise eğim $-20$ dB/dekad.
• Faz: $\omega_p$ çevresindeki geçiş boyunca yaklaşık $0^\circ$'den yaklaşık $-90^\circ$'ye düşer.

Orijinde Kutup veya Sıfır

Paydada $s$ çarpanı için:

• Genlik: tüm frekanslarda eğim $-20$ dB/dekad.
• Faz: sabit $-90^\circ$.

Payda değil, payda değil payda? Hayır, payda değil; payda yerine payda üstünde değil, payda üstünde değil.
Payda yerine payda üstünde değil, payda değil; payda üstünde yani payda değil, payda değil.

Payda yerine payda üstünde değil, payda değil; payda üstünde yani pay değil, payda değil.

Payda değil, payda üstünde değil; payda değil, payda değil.

Payda değil, payda üstünde değil; payda değil, pay değil.

Payda değil, payda üstünde değil; pay yani payda değil.

Payda değil, payda üstünde değil; payda değil.

Payda değil, payda üstünde değil; pay yani pay kısmında bulunan $s$ çarpanı için:

• Genlik: tüm frekanslarda eğim $+20$ dB/dekad.
• Faz: sabit $+90^\circ$.

Bu doğru parçaları asimptotlardır, tam eğriler değildir. Kırılma frekansı yakınında gerçek grafik yumuşak biçimde kıvrılır.

Çözümlü Örnek: $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$ Çizimi

Bu örnekte bir sabit kazanç, orijinde bir kutup ve $\omega = 10$'da bir birinci dereceden kutup vardır. Bu, fazla cebire girmeden tüm çizim sürecini göstermek için yeterlidir.

1. Adım: $s = j\omega$ Yerine Yazın

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

2. Adım: Genlik Diyagramını Çizin

Tam genlik ifadesi şöyledir:

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Buna göre desibel cinsinden tam genlik:

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Elle çizim için, çarpanların katkılarını tek tek toplamak daha hızlıdır:

• Kazanç $10$: her yerde $+20$ dB.
• Orijindeki kutup: her yerde eğim $-20$ dB/dekad.
• $10$'daki kutup: $\omega = 10$ öncesinde ek eğim yok, sonrasında bir $-20$ dB/dekad daha.

Buna göre toplam eğim:

• $\omega < 10$ için $-20$ dB/dekad
• $\omega > 10$ için $-40$ dB/dekad

Doğruyu yerleştirmek için bir referans noktası kullanın. $\omega = 1$ için,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

dolayısıyla

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Bu, doğru-parça çizimini $\omega = 1$ noktasında yaklaşık $20$ dB civarına yerleştirir. Eğri, $\omega = 10$'da yaklaşık $0$ dB'ye gelir, sonra kırılmadan sonra $-40$ dB/dekad eğimle düşer.

Köşe frekansında tam eğri, asimptottan daha aşağıdadır. Birinci dereceden bir kutup için fark yaklaşık $3$ dB'dir; dolayısıyla burada

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

yani yaklaşık $-3$ dB.

3. Adım: Faz Diyagramını Çizin

Faz, faz katkılarının toplamıdır:

• orijindeki kutup: $-90^\circ$
• $10$'daki kutup: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Dolayısıyla tam faz:

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Bu da üç net kontrol noktası verir:

• Çok düşük frekansta faz, $-90^\circ$'ye yakındır.
• $\omega = 10$ için faz $-135^\circ$'dir.
• Çok yüksek frekansta faz $-180^\circ$'ye yaklaşır.

Hızlı bir çizim için, yaygın birinci dereceden yaklaşımı kullanın: faz değişimini yaklaşık $\omega_p / 10$ civarında başlatın, $\omega_p$ noktasında $-45^\circ$'den geçirin ve yaklaşık $10\omega_p$ civarında tamamlayın. Burada ek faz düşüşü kabaca $\omega = 1$ ile $\omega = 100$ arasında olur.

Tamamlanmış Bode Diyagramı Ne Anlatır

Çizim tamamlandığında davranışı hızlıca okuyabilirsiniz.

• Bu örnekte yüksek frekanslar, düşük frekanslara göre daha güçlü biçimde zayıflatılır.
• $\omega = 10$ noktasındaki kırılma, düşüşün daha dik hale geldiği yerdir.
• Frekans arttıkça faz gecikmesi büyür.

Bu birleşim, integratör içeren bir alçak geçiren tepki için tipiktir.

Bode Diyagramında Yaygın Hatalar

• Logaritmik eksen yerine doğrusal frekans ekseni kullanmak.
• Grafikte genlikleri çarpmak; oysa dB cinsinden toplanmaları gerekir.
• Genlik oranları için $10 \log_{10}$ kullanmak. Transfer fonksiyonu genliği için $20 \log_{10}|G(j\omega)|$ kullanılmalıdır.
• Orijindeki bir kutup veya sıfırı unutmak; bu, eğimi her yerde değiştirir.
• Köşe frekansı yakınında doğru-parça çizimini tam doğru kabul etmek.

Bode Diyagramları Ne Zaman Kullanılır

Bode diyagramları, bir sistemin farklı frekanslara nasıl tepki verdiği önemli olduğunda kullanışlıdır.

• Elektronikte filtreleri ve yükselteçleri tanımlar.
• Kontrol alanında bant genişliğini, kesişim davranışını ve faz gecikmesini tahmin etmeye yardımcı olur.
• Sinyal işlemede hangi frekansların geçirildiğini veya bastırıldığını gösterir.

Özellikle sistem doğrusal ve zamanla değişmeyen ise ve transfer fonksiyonu kutup ve sıfırlar cinsinden yazılabiliyorsa çok faydalıdır.

Benzer Bir Çizimi Siz Deneyin

Şu örnekle kendi çiziminizi yapmayı deneyin:

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Önce kırılma frekanslarını işaretleyin, sonra eğim ve faz değişimlerini her çarpan için tek tek ekleyin. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, çiziminizi bir grafik aracıyla karşılaştırın ve doğru-parça yaklaşımının en çok nerede saptığını kontrol edin.