Diagramme de Bode — comment le tracer

Pour tracer un diagramme de Bode, commencez par factoriser la fonction de transfert, puis ajoutez l’effet de chaque gain, pôle et zéro sur un axe de fréquence logarithmique. On trace généralement deux graphes : le gain en dB et la phase en degrés pour $G(j\omega)$.

Pour une fonction de transfert $G(s)$, les grandeurs standard sont

$$\text{gain en dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

et

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

La simplification essentielle est que la multiplication dans la fonction de transfert devient une addition sur le diagramme de Bode. C’est pour cela qu’une expression compliquée peut quand même être tracée à la main.

Comment tracer rapidement un diagramme de Bode

Suivez cet ordre :

1. Réécrivez la fonction de transfert sous forme de facteurs simples.
2. Repérez chaque fréquence de coupure sur un axe de fréquence logarithmique.
3. Ajoutez la contribution en gain de chaque facteur en dB.
4. Ajoutez la contribution en phase de chaque facteur.

Une forme factorisée courante est

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Ici, $K$ est un gain constant, chaque $\omega_z$ est une fréquence de zéro, et chaque $\omega_p$ est une fréquence de pôle.

Effet de chaque facteur

Gain constant $K$

• Gain : ajouter $20 \log_{10}|K|$ dB partout.
• Phase : ajouter $0^\circ$ si $K > 0$. Si $K < 0$, la phase diffère de $180^\circ$ selon votre convention d’angle.

Zéro en $\omega_z$

Pour un facteur $(1 + s / \omega_z)$ :

• Gain : environ $0$ dB avant $\omega_z$, puis une pente de $+20$ dB/décennie après $\omega_z$.
• Phase : monte d’environ $0^\circ$ à environ $+90^\circ$ pendant la transition autour de $\omega_z$.

Pôle en $\omega_p$

Pour un facteur $(1 + s / \omega_p)$ au dénominateur :

• Gain : environ $0$ dB avant $\omega_p$, puis une pente de $-20$ dB/décennie après $\omega_p$.
• Phase : descend d’environ $0^\circ$ à environ $-90^\circ$ pendant la transition autour de $\omega_p$.

Pôle ou zéro à l’origine

Pour un facteur $s$ au dénominateur :

• Gain : pente de $-20$ dB/décennie à toutes les fréquences.
• Phase : constante égale à $-90^\circ$.

Pour un facteur $s$ au numérateur :

• Gain : pente de $+20$ dB/décennie à toutes les fréquences.
• Phase : constante égale à $+90^\circ$.

Ces droites sont des asymptotes, pas les courbes exactes. Près d’une fréquence de coupure, le graphe réel s’incurve de façon lisse.

Exemple détaillé : tracer $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Cet exemple comporte un gain constant, un pôle à l’origine et un pôle du premier ordre en $\omega = 10$. Cela suffit pour montrer tout le processus de tracé sans algèbre supplémentaire.

Étape 1 : remplacer $s$ par $j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Étape 2 : tracer le diagramme de gain

Le gain exact est

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Donc le gain exact en décibels est

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Pour un tracé à la main, il est plus rapide d’additionner les contributions facteur par facteur :

• Gain $10$ : $+20$ dB partout.
• Pôle à l’origine : pente de $-20$ dB/décennie partout.
• Pôle en $10$ : pas de pente supplémentaire avant $\omega = 10$, puis encore $-20$ dB/décennie après.

La pente totale est donc :

• $-20$ dB/décennie pour $\omega < 10$
• $-40$ dB/décennie pour $\omega > 10$

Utilisez un point d’ancrage pour placer la droite. À $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

donc

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Cela place le tracé en lignes droites près de $20$ dB à $\omega = 1$. Il atteint environ $0$ dB à $\omega = 10$, puis décroît avec une pente de $-40$ dB/décennie après la coupure.

À la fréquence de coupure, la courbe exacte est plus basse que l’asymptote. Pour un pôle du premier ordre, l’écart est d’environ $3$ dB, donc ici

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

ce qui vaut environ $-3$ dB.

Étape 3 : tracer le diagramme de phase

La phase est la somme des contributions de phase :

• pôle à l’origine : $-90^\circ$
• pôle en $10$ : $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Donc la phase exacte est

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Cela donne trois repères simples :

• À très basse fréquence, la phase est proche de $-90^\circ$.
• À $\omega = 10$, la phase vaut $-135^\circ$.
• À très haute fréquence, la phase tend vers $-180^\circ$.

Pour un tracé rapide, utilisez l’approximation usuelle du premier ordre : commencez la variation de phase vers $\omega_p / 10$, passez par $-45^\circ$ à $\omega_p$, et terminez près de $10\omega_p$. Ici, la chute de phase supplémentaire se produit approximativement de $\omega = 1$ à $\omega = 100$.

Ce que le diagramme de Bode final vous apprend

Une fois le tracé terminé, vous pouvez lire rapidement le comportement du système.

• Dans cet exemple, les hautes fréquences sont plus fortement atténuées que les basses fréquences.
• La coupure en $\omega = 10$ est l’endroit où la décroissance devient plus raide.
• Le retard de phase augmente quand la fréquence augmente.

Cette combinaison est typique d’une réponse passe-bas avec un intégrateur.

Erreurs fréquentes sur les diagrammes de Bode

• Utiliser un axe de fréquence linéaire au lieu d’un axe logarithmique.
• Multiplier les gains sur le graphe au lieu de les additionner en dB.
• Utiliser $10 \log_{10}$ pour des rapports d’amplitude. Pour le module d’une fonction de transfert, utilisez $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Oublier un pôle ou un zéro à l’origine, ce qui modifie la pente partout.
• Prendre le tracé en lignes droites pour la courbe exacte près d’une fréquence de coupure.

Quand utilise-t-on les diagrammes de Bode ?

Les diagrammes de Bode sont utiles quand on veut savoir comment un système réagit à différentes fréquences.

• En électronique, ils décrivent les filtres et les amplificateurs.
• En automatique, ils aident à estimer la bande passante, le comportement au croisement et le retard de phase.
• En traitement du signal, ils montrent quelles fréquences sont transmises ou atténuées.

Ils sont particulièrement utiles lorsque le système est linéaire et invariant dans le temps et que la fonction de transfert peut s’écrire en pôles et zéros.

Essayez un tracé similaire

Essayez votre propre version avec

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Repérez d’abord les fréquences de coupure, puis ajoutez les variations de pente et de phase un facteur à la fois. Si vous voulez aller un peu plus loin, comparez votre tracé avec un outil de représentation graphique et vérifiez où l’approximation en lignes droites s’écarte le plus.