Plot Bode — Cara Menggambar

Untuk menggambar plot Bode, pertama faktorkan fungsi alih, lalu tambahkan pengaruh tiap gain, pole, dan zero pada sumbu frekuensi logaritmik. Biasanya Anda membuat dua grafik: magnitudo dalam dB dan fase dalam derajat untuk $G(j\omega)$.

Untuk fungsi alih $G(s)$, besaran standarnya adalah

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

dan

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

Penyederhanaan utamanya adalah bahwa perkalian pada fungsi alih berubah menjadi penjumlahan pada plot Bode. Itulah sebabnya ekspresi yang rumit tetap bisa dibuat sketsanya dengan tangan.

Cara Cepat Menggambar Plot Bode

Gunakan urutan ini:

1. Tulis ulang fungsi alih sebagai faktor-faktor sederhana.
2. Tandai setiap frekuensi patah pada sumbu frekuensi logaritmik.
3. Tambahkan kontribusi magnitudo dari tiap faktor dalam dB.
4. Tambahkan kontribusi fase dari tiap faktor.

Bentuk faktorisasi yang umum adalah

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Di sini, $K$ adalah gain konstan, setiap $\omega_z$ adalah frekuensi zero, dan setiap $\omega_p$ adalah frekuensi pole.

Pengaruh Tiap Faktor

Gain Konstan $K$

• Magnitudo: tambahkan $20 \log_{10}|K|$ dB di semua frekuensi.
• Fase: tambahkan $0^\circ$ jika $K > 0$. Jika $K < 0$, fase berbeda sebesar $180^\circ$ tergantung konvensi sudut yang dipakai.

Zero Pada $\omega_z$

Untuk faktor $(1 + s / \omega_z)$:

• Magnitudo: sekitar $0$ dB sebelum $\omega_z$, lalu kemiringan $+20$ dB/dekade setelah $\omega_z$.
• Fase: naik dari sekitar $0^\circ$ ke sekitar $+90^\circ$ selama transisi di sekitar $\omega_z$.

Pole Pada $\omega_p$

Untuk faktor $(1 + s / \omega_p)$ di penyebut:

• Magnitudo: sekitar $0$ dB sebelum $\omega_p$, lalu kemiringan $-20$ dB/dekade setelah $\omega_p$.
• Fase: turun dari sekitar $0^\circ$ ke sekitar $-90^\circ$ selama transisi di sekitar $\omega_p$.

Pole Atau Zero Di Titik Asal

Untuk faktor $s$ di penyebut:

• Magnitudo: kemiringan $-20$ dB/dekade pada semua frekuensi.
• Fase: konstan $-90^\circ$.

Untuk faktor $s$ di pembilang:

• Magnitudo: kemiringan $+20$ dB/dekade pada semua frekuensi.
• Fase: konstan $+90^\circ$.

Garis-garis lurus ini adalah asimtot, bukan kurva eksak. Di dekat frekuensi patah, grafik sebenarnya melengkung dengan halus.

Contoh Lengkap: Gambar $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Contoh ini memiliki satu gain konstan, satu pole di titik asal, dan satu pole orde satu pada $\omega = 10$. Ini cukup untuk menunjukkan seluruh proses sketsa tanpa aljabar tambahan.

Langkah 1: Substitusikan $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Langkah 2: Buat Sketsa Plot Magnitudo

Magnitudo eksaknya adalah

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Jadi magnitudo eksak dalam desibel adalah

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Untuk sketsa tangan, lebih cepat jika menambahkan kontribusi per faktor:

• Gain $10$: $+20$ dB di semua frekuensi.
• Pole di titik asal: kemiringan $-20$ dB/dekade di semua frekuensi.
• Pole pada $10$: tidak ada tambahan kemiringan sebelum $\omega = 10$, lalu tambahan $-20$ dB/dekade setelahnya.

Jadi kemiringan totalnya adalah:

• $-20$ dB/dekade untuk $\omega < 10$
• $-40$ dB/dekade untuk $\omega > 10$

Gunakan satu titik acuan untuk menempatkan garis. Pada $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

sehingga

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Ini menempatkan sketsa garis lurus di sekitar $20$ dB pada $\omega = 1$. Nilainya mencapai sekitar $0$ dB pada $\omega = 10$, lalu turun dengan kemiringan $-40$ dB/dekade setelah frekuensi patah.

Pada frekuensi sudut, kurva eksak lebih rendah daripada asimtot. Untuk pole orde satu, selisihnya sekitar $3$ dB, jadi di sini

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

yaitu sekitar $-3$ dB.

Langkah 3: Buat Sketsa Plot Fase

Fase adalah jumlah dari kontribusi fase:

• pole di titik asal: $-90^\circ$
• pole pada $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Jadi fase eksaknya adalah

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Ini memberi tiga titik pemeriksaan yang jelas:

• Pada frekuensi sangat rendah, fase mendekati $-90^\circ$.
• Pada $\omega = 10$, fase adalah $-135^\circ$.
• Pada frekuensi sangat tinggi, fase mendekati $-180^\circ$.

Untuk sketsa cepat, gunakan pendekatan orde satu yang umum: mulai perubahan fase di sekitar $\omega_p / 10$, melewati $-45^\circ$ pada $\omega_p$, dan selesai dekat $10\omega_p$. Di sini penurunan fase tambahan terjadi kira-kira dari $\omega = 1$ sampai $\omega = 100$.

Apa yang Diberitahukan Plot Bode yang Sudah Jadi

Setelah sketsa selesai, Anda bisa membaca perilakunya dengan cepat.

• Frekuensi tinggi diredam lebih kuat daripada frekuensi rendah pada contoh ini.
• Frekuensi patah di $\omega = 10$ adalah titik saat roll-off menjadi lebih curam.
• Keterlambatan fase bertambah saat frekuensi meningkat.

Kombinasi ini khas untuk respons low-pass dengan sebuah integrator.

Kesalahan Umum pada Plot Bode

• Menggunakan sumbu frekuensi linear, bukan logaritmik.
• Mengalikan magnitudo pada grafik, bukan menjumlahkannya dalam dB.
• Menggunakan $10 \log_{10}$ untuk rasio amplitudo. Untuk magnitudo fungsi alih, gunakan $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Lupa ada pole atau zero di titik asal, yang mengubah kemiringan di semua frekuensi.
• Menganggap sketsa garis lurus sebagai kurva eksak di dekat frekuensi sudut.

Kapan Plot Bode Digunakan

Plot Bode berguna saat Anda ingin mengetahui bagaimana suatu sistem merespons frekuensi yang berbeda.

• Dalam elektronika, plot ini menggambarkan filter dan penguat.
• Dalam kendali, plot ini membantu memperkirakan bandwidth, perilaku crossover, dan keterlambatan fase.
• Dalam pemrosesan sinyal, plot ini menunjukkan frekuensi mana yang dilewatkan atau ditekan.

Plot ini sangat membantu ketika sistem bersifat linear dan tak berubah waktu, serta fungsi alihnya dapat ditulis dalam bentuk pole dan zero.

Coba Sketsa Serupa

Coba versi Anda sendiri dengan

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Tandai frekuensi patah terlebih dahulu, lalu tambahkan perubahan kemiringan dan fase satu faktor pada satu waktu. Jika ingin melangkah lebih jauh, bandingkan sketsa Anda dengan alat pembuat grafik dan periksa di mana pendekatan garis lurus paling berbeda.