Διάγραμμα Bode — Πώς να το σχεδιάσετε

Για να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα Bode, πρώτα παραγοντοποιείτε τη συνάρτηση μεταφοράς και μετά προσθέτετε την επίδραση κάθε κέρδους, πόλου και μηδενικού πάνω σε λογαριθμικό άξονα συχνότητας. Συνήθως σχεδιάζετε δύο γραφήματα: το μέτρο σε dB και τη φάση σε μοίρες για το $G(j\omega)$.

Για μια συνάρτηση μεταφοράς $G(s)$, τα βασικά μεγέθη είναι

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

και

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

Η βασική απλοποίηση είναι ότι ο πολλαπλασιασμός στη συνάρτηση μεταφοράς γίνεται πρόσθεση στο διάγραμμα Bode. Γι’ αυτό ακόμη και μια πολύπλοκη παράσταση μπορεί να σχεδιαστεί με το χέρι.

Πώς να σχεδιάσετε γρήγορα ένα διάγραμμα Bode

Ακολουθήστε αυτή τη σειρά:

1. Ξαναγράψτε τη συνάρτηση μεταφοράς ως απλούς παράγοντες.
2. Σημειώστε κάθε συχνότητα θλάσης σε έναν λογαριθμικό άξονα συχνότητας.
3. Προσθέστε τη συνεισφορά του μέτρου από κάθε παράγοντα σε dB.
4. Προσθέστε τη συνεισφορά της φάσης από κάθε παράγοντα.

Μια συνηθισμένη παραγοντοποιημένη μορφή είναι

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Εδώ, το $K$ είναι ένα σταθερό κέρδος, κάθε $\omega_z$ είναι συχνότητα μηδενικού και κάθε $\omega_p$ είναι συχνότητα πόλου.

Τι κάνει κάθε παράγοντας

Σταθερό κέρδος $K$

• Μέτρο: προσθέστε $20 \log_{10}|K|$ dB παντού.
• Φάση: προσθέστε $0^\circ$ αν $K > 0$. Αν $K < 0$, η φάση διαφέρει κατά $180^\circ$ ανάλογα με τη σύμβαση γωνίας που χρησιμοποιείτε.

Μηδενικό στο $\omega_z$

Για έναν παράγοντα $(1 + s / \omega_z)$:

• Μέτρο: περίπου $0$ dB πριν από το $\omega_z$, έπειτα κλίση $+20$ dB/δεκαετία μετά το $\omega_z$.
• Φάση: ανεβαίνει από περίπου $0^\circ$ σε περίπου $+90^\circ$ κατά τη μετάβαση γύρω από το $\omega_z$.

Πόλος στο $\omega_p$

Για έναν παράγοντα $(1 + s / \omega_p)$ στον παρονομαστή:

• Μέτρο: περίπου $0$ dB πριν από το $\omega_p$, έπειτα κλίση $-20$ dB/δεκαετία μετά το $\omega_p$.
• Φάση: πέφτει από περίπου $0^\circ$ σε περίπου $-90^\circ$ κατά τη μετάβαση γύρω από το $\omega_p$.

Πόλος ή μηδενικό στην αρχή

Για έναν παράγοντα $s$ στον παρονομαστή:

• Μέτρο: κλίση $-20$ dB/δεκαετία σε όλες τις συχνότητες.
• Φάση: σταθερά $-90^\circ$.

Για έναν παράγοντα $s$ στον αριθμητή:

• Μέτρο: κλίση $+20$ dB/δεκαετία σε όλες τις συχνότητες.
• Φάση: σταθερά $+90^\circ$.

Αυτές οι ευθείες είναι ασύμπτωτες, όχι ακριβείς καμπύλες. Κοντά σε μια συχνότητα θλάσης, το πραγματικό γράφημα καμπυλώνει ομαλά.

Λυμένο παράδειγμα: Σχεδιάστε το $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Αυτό το παράδειγμα έχει ένα σταθερό κέρδος, έναν πόλο στην αρχή και έναν πόλο πρώτης τάξης στο $\omega = 10$. Αυτό αρκεί για να φανεί όλη η διαδικασία σχεδίασης χωρίς επιπλέον άλγεβρα.

Βήμα 1: Αντικαταστήστε $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Βήμα 2: Σχεδιάστε το διάγραμμα μέτρου

Το ακριβές μέτρο είναι

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Άρα το ακριβές μέτρο σε decibel είναι

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Για ένα πρόχειρο σχεδίασμα στο χέρι, είναι πιο γρήγορο να προσθέσετε τις συνεισφορές παράγοντα προς παράγοντα:

• Κέρδος $10$: $+20$ dB παντού.
• Πόλος στην αρχή: κλίση $-20$ dB/δεκαετία παντού.
• Πόλος στο $10$: καμία επιπλέον κλίση πριν από $\omega = 10$, έπειτα άλλη μία $-20$ dB/δεκαετία μετά από αυτό.

Άρα η συνολική κλίση είναι:

• $-20$ dB/δεκαετία για $\omega < 10$
• $-40$ dB/δεκαετία για $\omega > 10$

Χρησιμοποιήστε ένα σημείο αναφοράς για να τοποθετήσετε την ευθεία. Στο $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

οπότε

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Αυτό τοποθετεί το ευθύγραμμο σχεδίασμα κοντά στα $20$ dB στο $\omega = 1$. Φτάνει περίπου στα $0$ dB στο $\omega = 10$ και μετά πέφτει με κλίση $-40$ dB/δεκαετία μετά τη θλάση.

Στη γωνιακή συχνότητα, η ακριβής καμπύλη είναι χαμηλότερη από την ασύμπτωτη. Για έναν πόλο πρώτης τάξης, η διαφορά είναι περίπου $3$ dB, άρα εδώ

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

που είναι περίπου $-3$ dB.

Βήμα 3: Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσης

Η φάση είναι το άθροισμα των συνεισφορών φάσης:

• πόλος στην αρχή: $-90^\circ$
• πόλος στο $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Άρα η ακριβής φάση είναι

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Αυτό δίνει τρία καθαρά σημεία ελέγχου:

• Σε πολύ χαμηλή συχνότητα, η φάση είναι κοντά στις $-90^\circ$.
• Στο $\omega = 10$, η φάση είναι $-135^\circ$.
• Σε πολύ υψηλή συχνότητα, η φάση πλησιάζει τις $-180^\circ$.

Για ένα γρήγορο σχεδίασμα, χρησιμοποιήστε τη συνηθισμένη προσέγγιση πρώτης τάξης: ξεκινήστε τη μεταβολή της φάσης γύρω από $\omega_p / 10$, περάστε από $-45^\circ$ στο $\omega_p$ και ολοκληρώστε κοντά στο $10\omega_p$. Εδώ η επιπλέον πτώση της φάσης συμβαίνει περίπου από $\omega = 1$ έως $\omega = 100$.

Τι σας λέει το τελικό διάγραμμα Bode

Μόλις ολοκληρωθεί το σχεδίασμα, μπορείτε να διαβάσετε γρήγορα τη συμπεριφορά.

• Οι υψηλές συχνότητες εξασθενούν πιο έντονα από τις χαμηλές σε αυτό το παράδειγμα.
• Η θλάση στο $\omega = 10$ είναι το σημείο όπου η αποκοπή γίνεται πιο απότομη.
• Η υστέρηση φάσης αυξάνεται καθώς αυξάνεται η συχνότητα.

Αυτός ο συνδυασμός είναι τυπικός για μια απόκριση χαμηλοπερατού φίλτρου με ολοκληρωτή.

Συνηθισμένα λάθη στα διαγράμματα Bode

• Χρήση γραμμικού άξονα συχνότητας αντί για λογαριθμικό.
• Πολλαπλασιασμός των μέτρων πάνω στο γράφημα αντί για πρόσθεσή τους σε dB.
• Χρήση του $10 \log_{10}$ για λόγους πλάτους. Για το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς, χρησιμοποιήστε $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Παράλειψη πόλου ή μηδενικού στην αρχή, κάτι που αλλάζει την κλίση παντού.
• Αντιμετώπιση του ευθύγραμμου σχεδιάσματος ως ακριβούς κοντά σε μια γωνιακή συχνότητα.

Πότε χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Bode

Τα διαγράμματα Bode είναι χρήσιμα όταν σας ενδιαφέρει πώς αποκρίνεται ένα σύστημα σε διαφορετικές συχνότητες.

• Στα ηλεκτρονικά, περιγράφουν φίλτρα και ενισχυτές.
• Στον έλεγχο, βοηθούν στην εκτίμηση του εύρους ζώνης, της συμπεριφοράς διέλευσης και της υστέρησης φάσης.
• Στην επεξεργασία σήματος, δείχνουν ποιες συχνότητες περνούν και ποιες καταστέλλονται.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν το σύστημα είναι γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο και η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να γραφτεί με πόλους και μηδενικά.

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο σχεδίασμα

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή με

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Σημειώστε πρώτα τις συχνότητες θλάσης και μετά προσθέστε τις μεταβολές της κλίσης και της φάσης έναν παράγοντα τη φορά. Αν θέλετε να προχωρήσετε ένα βήμα παραπέρα, συγκρίνετε το σχεδίασμά σας με ένα εργαλείο γραφημάτων και ελέγξτε πού διαφέρει περισσότερο η ευθύγραμμη προσέγγιση.