보드선도 — 그리는 방법

보드선도를 그릴 때는 먼저 전달함수를 인수분해한 다음, 로그 주파수 축에서 각 이득, 극, 영점이 미치는 영향을 더합니다. 보통 두 개의 그래프를 스케치하는데, 하나는 $G(j\omega)$의 크기를 dB로 나타낸 것이고, 다른 하나는 위상을 도 단위로 나타낸 것입니다.

전달함수 $G(s)$에 대해 표준적으로 쓰는 양은 다음과 같습니다.

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

그리고

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

핵심적인 단순화는 전달함수에서의 곱셈이 보드선도에서는 덧셈으로 바뀐다는 점입니다. 그래서 식이 복잡해 보여도 손으로 스케치할 수 있습니다.

보드선도를 빠르게 그리는 방법

다음 순서로 진행하면 됩니다.

1. 전달함수를 단순한 인수들의 곱으로 다시 씁니다.
2. 로그 주파수 축에 각 절점 주파수를 표시합니다.
3. 각 인수의 크기 기여를 dB 단위로 더합니다.
4. 각 인수의 위상 기여를 더합니다.

자주 쓰는 인수분해 형태는 다음과 같습니다.

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

여기서 $K$는 상수 이득이고, 각 $\omega_z$는 영점 주파수, 각 $\omega_p$는 극 주파수입니다.

각 인수가 하는 일

상수 이득 $K$

• 크기: 전체 구간에서 $20 \log_{10}|K|$ dB를 더합니다.
• 위상: $K > 0$이면 $0^\circ$를 더합니다. $K < 0$이면 각도 정의에 따라 위상은 $180^\circ$만큼 달라집니다.

$\omega_z$에서의 영점

인수 $(1 + s / \omega_z)$에 대해:

• 크기: $\omega_z$ 이전에는 대략 $0$ dB이고, $\omega_z$ 이후에는 기울기가 $+20$ dB/decade입니다.
• 위상: $\omega_z$ 부근의 전이 구간에서 대략 $0^\circ$에서 $+90^\circ$로 증가합니다.

$\omega_p$에서의 극

분모에 있는 인수 $(1 + s / \omega_p)$에 대해:

• 크기: $\omega_p$ 이전에는 대략 $0$ dB이고, $\omega_p$ 이후에는 기울기가 $-20$ dB/decade입니다.
• 위상: $\omega_p$ 부근의 전이 구간에서 대략 $0^\circ$에서 $-90^\circ$로 감소합니다.

원점에 있는 극 또는 영점

분모에 인수 $s$가 있으면:

• 크기: 모든 주파수에서 기울기가 $-20$ dB/decade입니다.
• 위상: 항상 $-90^\circ$입니다.

분자에 인수 $s$가 있으면:

• 크기: 모든 주파수에서 기울기가 $+20$ dB/decade입니다.
• 위상: 항상 $+90^\circ$입니다.

이 직선들은 정확한 곡선이 아니라 점근선입니다. 절점 주파수 근처에서는 실제 그래프가 부드럽게 휘어집니다.

예제: $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$ 그리기

이 예제에는 상수 이득 하나, 원점의 극 하나, 그리고 $\omega = 10$에서의 1차 극 하나가 있습니다. 추가적인 복잡한 대수 계산 없이도 전체 스케치 과정을 보여 주기에 충분합니다.

1단계: $s = j\omega$ 대입하기

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

2단계: 크기 선도 스케치하기

정확한 크기는 다음과 같습니다.

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

따라서 데시벨 단위의 정확한 크기는

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

손으로 스케치할 때는 인수별 기여를 더하는 편이 더 빠릅니다.

• 이득 $10$: 전체 구간에서 $+20$ dB
• 원점의 극: 전체 구간에서 기울기 $-20$ dB/decade
• $10$에서의 극: $\omega = 10$ 이전에는 추가 기울기 없음, 그 이후에는 기울기 $-20$ dB/decade 추가

따라서 전체 기울기는 다음과 같습니다.

• $\omega < 10$에서는 $-20$ dB/decade
• $\omega > 10$에서는 $-40$ dB/decade

직선을 어디에 놓을지 정하려면 기준점 하나를 잡으면 됩니다. $\omega = 1$에서

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

이므로

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

따라서 직선 근사 스케치는 $\omega = 1$에서 약 $20$ dB 부근에 놓입니다. 이후 $\omega = 10$에서 약 $0$ dB에 도달하고, 절점 이후에는 기울기 $-40$ dB/decade로 감소합니다.

코너 주파수에서는 정확한 곡선이 점근선보다 더 낮습니다. 1차 극의 경우 차이는 약 $3$ dB이므로, 여기서는

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

즉 약 $-3$ dB입니다.

3단계: 위상 선도 스케치하기

위상은 각 인수의 위상 기여를 더한 것입니다.

• 원점의 극: $-90^\circ$
• $10$에서의 극: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

따라서 정확한 위상은

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

이 식으로부터 세 개의 깔끔한 확인점을 얻을 수 있습니다.

• 매우 낮은 주파수에서 위상은 $-90^\circ$에 가깝습니다.
• $\omega = 10$에서 위상은 $-135^\circ$입니다.
• 매우 높은 주파수에서 위상은 $-180^\circ$에 가까워집니다.

빠르게 스케치할 때는 보통의 1차 근사를 사용합니다. 위상 변화는 대략 $\omega_p / 10$ 부근에서 시작해, $\omega_p$에서 $-45^\circ$를 지나고, $10\omega_p$ 부근에서 거의 끝납니다. 여기서는 추가 위상 하강이 대략 $\omega = 1$부터 $\omega = 100$까지 일어납니다.

완성된 보드선도가 알려 주는 것

스케치를 마치면 시스템의 거동을 빠르게 읽을 수 있습니다.

• 이 예제에서는 높은 주파수가 낮은 주파수보다 더 강하게 감쇠됩니다.
• $\omega = 10$에서의 절점은 롤오프가 더 가팔라지는 지점입니다.
• 주파수가 증가할수록 위상 지연이 커집니다.

이 조합은 적분기를 포함한 저역통과 응답에서 흔히 나타납니다.

보드선도에서 자주 하는 실수

• 선형 주파수 축을 쓰고 로그 주파수 축을 쓰지 않는 것
• 그래프에서 크기를 곱하고, dB에서 더하지 않는 것
• 진폭비에 $10 \log_{10}$를 사용하는 것. 전달함수의 크기에는 $20 \log_{10}|G(j\omega)|$를 사용해야 합니다.
• 원점의 극이나 영점을 빠뜨리는 것. 이는 전체 구간의 기울기를 바꿉니다.
• 코너 주파수 근처에서도 직선 스케치를 정확한 값으로 여기는 것

보드선도는 언제 쓰이나요?

보드선도는 시스템이 서로 다른 주파수에 어떻게 응답하는지가 중요할 때 유용합니다.

• 전자공학에서는 필터와 증폭기를 설명할 때 사용합니다.
• 제어에서는 대역폭, 교차 주파수 부근의 거동, 위상 지연을 추정하는 데 도움이 됩니다.
• 신호처리에서는 어떤 주파수가 통과되고 어떤 주파수가 억제되는지를 보여 줍니다.

특히 시스템이 선형 시불변이고 전달함수를 극과 영점으로 쓸 수 있을 때 매우 유용합니다.

비슷한 스케치를 직접 해 보세요

다음 전달함수로 직접 해 보세요.

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

먼저 절점 주파수를 표시한 뒤, 각 인수에 따른 기울기와 위상 변화를 하나씩 더해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 그래프 도구로 그린 결과와 자신의 스케치를 비교해서 직선 근사가 어디에서 가장 크게 어긋나는지도 확인해 보세요.