传递函数

传递函数是在拉普拉斯域中，把线性时不变系统的输入与输出联系起来的规则。在零初始条件下，它定义为

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

其中，$X(s)$ 是变换后的输入，$Y(s)$ 是变换后的输出。通俗地说，它告诉你系统对不同输入响应有多强，而不必每次都从头求解完整的微分方程。

这并不意味着在任何情况下都可以简单理解为“输出除以输入”。这个定义只在特定条件下成立，而这些条件非常重要。

传递函数告诉你什么

传递函数把系统的行为浓缩成一个表达式。一旦知道了 $H(s)$，你通常就能看出系统会放大、减弱、延迟，还是滤除输入中的某些部分。

对于正弦稳态问题，通常要在虚轴上计算它，也就是 $H(i\omega)$。这样可以得到两个很实用的信息：

• 幅值，表示角频率为 $\omega$ 的正弦输入会被放大还是减弱多少
• 相位，表示输出相对于输入发生了多大的相位偏移

这就是为什么传递函数会出现在电路、振动、滤波和控制等领域。

什么时候 $H(s) = Y(s)/X(s)$ 有效

这个常用公式默认系统是线性且时不变的。如果线性条件不成立，输入就不能按通常的叠加方式组合。如果时不变条件不成立，系统在不同时间的行为可能不同，因此一个固定的传递函数就不够用了。

零初始条件也同样重要。电容、电感或机械振子的储能会改变实际输出，但这部分额外贡献并不属于传递函数本身。传递函数描述的是在标准零初始条件设定下，系统固有的输入—输出关系。

例题：RC 低通滤波器

设一个电阻 $R$ 与一个电容 $C$ 串联，并把输出取在电容两端。在拉普拉斯域中，电容的阻抗为 $1/(sC)$，因此由分压公式可得

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

这是一个低通传递函数。低频比高频更容易通过，所以输出看起来像是输入的平滑版本。

选一个具体数值：

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

则有

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

所以传递函数变为

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

截止角频率为

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

对应的截止频率是

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

在截止频率处，

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

因此，在这个频率下，输出幅值约为输入幅值的 $70.7\%$。仅这一个数字就已经很有用：它说明电路从大约 $159\ \mathrm{Hz}$ 及以上开始，对信号产生明显衰减。

再快速检验一下直觉：如果 $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$，那么 $|H(i\omega)|$ 接近 $1$，输出大小几乎与输入相同。如果 $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$，幅值就会变得很小，因此快速振荡会被明显削弱。

传递函数中的常见错误

• 把这个术语用于并未按线性时不变系统建模的系统。
• 没有先明确哪个变量是输入，哪个变量是输出。
• 误以为传递函数已经包含任意初始条件。
• 混淆一般的拉普拉斯域传递函数 $H(s)$ 与频率响应 $H(i\omega)$。
• 只看幅值而忽略相位偏移，即使相位在物理上同样重要。

传递函数用在哪里

只要一个系统可以用线性微分方程建模，并且你关心输入如何传递到输出，传递函数就很有用。常见例子包括 RC 和 RLC 电路、阻尼机械振子、反馈系统，以及简单的传感器模型。

在物理中，当核心问题不是完整的时间历程，而是系统在不同频率下对驱动、滤波或振荡的响应时，传递函数尤其有用。

试试一个类似的传递函数

还是同一个 RC 电路，但这次把输出取在电阻两端。你会得到一个高通传递函数，这个对比能帮助你记住一个关键点：输出的定义一变，传递函数也会随之改变。