Diagrama de Bode — Como Desenhar

Para desenhar um diagrama de Bode, primeiro fatoramos a função de transferência e depois somamos o efeito de cada ganho, polo e zero em um eixo de frequência logarítmico. Normalmente, você esboça dois gráficos: magnitude em dB e fase em graus para $G(j\omega)$.

Para uma função de transferência $G(s)$, as quantidades padrão são

$$\text{magnitude em dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

e

$$\text{fase} = \angle G(j\omega).$$

A simplificação principal é que a multiplicação na função de transferência vira soma no diagrama de Bode. É por isso que até uma expressão complicada ainda pode ser esboçada à mão.

Como Desenhar um Diagrama de Bode Rapidamente

Use esta ordem:

1. Reescreva a função de transferência como fatores simples.
2. Marque cada frequência de quebra em um eixo de frequência logarítmico.
3. Some a contribuição de magnitude de cada fator em dB.
4. Some a contribuição de fase de cada fator.

Uma forma fatorada comum é

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Aqui, $K$ é um ganho constante, cada $\omega_z$ é uma frequência de zero e cada $\omega_p$ é uma frequência de polo.

O Que Cada Fator Faz

Ganho Constante $K$

• Magnitude: some $20 \log_{10}|K|$ dB em toda parte.
• Fase: some $0^\circ$ se $K > 0$. Se $K < 0$, a fase difere em $180^\circ$, dependendo da convenção de ângulo adotada.

Zero em $\omega_z$

Para um fator $(1 + s / \omega_z)$:

• Magnitude: cerca de $0$ dB antes de $\omega_z$, depois inclinação de $+20$ dB/década após $\omega_z$.
• Fase: sobe de cerca de $0^\circ$ para cerca de $+90^\circ$ ao longo da transição em torno de $\omega_z$.

Polo em $\omega_p$

Para um fator $(1 + s / \omega_p)$ no denominador:

• Magnitude: cerca de $0$ dB antes de $\omega_p$, depois inclinação de $-20$ dB/década após $\omega_p$.
• Fase: cai de cerca de $0^\circ$ para cerca de $-90^\circ$ ao longo da transição em torno de $\omega_p$.

Polo ou Zero na Origem

Para um fator $s$ no denominador:

• Magnitude: inclinação de $-20$ dB/década em todas as frequências.
• Fase: constante em $-90^\circ$.

Para um fator $s$ no numerador:

• Magnitude: inclinação de $+20$ dB/década em todas as frequências.
• Fase: constante em $+90^\circ$.

Essas retas são assíntotas, não curvas exatas. Perto de uma frequência de quebra, o gráfico real se curva suavemente.

Exemplo Resolvido: Desenhe $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Este exemplo tem um ganho constante, um polo na origem e um polo de primeira ordem em $\omega = 10$. Isso já basta para mostrar todo o processo de esboço sem álgebra extra.

Passo 1: Substitua $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Passo 2: Esboce o Gráfico de Magnitude

A magnitude exata é

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Então a magnitude exata em decibéis é

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Para um esboço à mão, é mais rápido somar as contribuições fator por fator:

• Ganho $10$: $+20$ dB em toda parte.
• Polo na origem: inclinação de $-20$ dB/década em toda parte.
• Polo em $10$: nenhuma inclinação extra antes de $\omega = 10$, depois mais $-20$ dB/década após esse ponto.

Então a inclinação total é:

• $-20$ dB/década para $\omega < 10$
• $-40$ dB/década para $\omega > 10$

Use um ponto de referência para posicionar a reta. Em $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

então

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Isso coloca o esboço em reta perto de $20$ dB em $\omega = 1$. Ele chega a cerca de $0$ dB em $\omega = 10$ e depois cai com inclinação de $-40$ dB/década após a quebra.

Na frequência de canto, a curva exata fica abaixo da assíntota. Para um polo de primeira ordem, a diferença é de cerca de $3$ dB, então aqui

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

o que dá aproximadamente $-3$ dB.

Passo 3: Esboce o Gráfico de Fase

A fase é a soma das contribuições de fase:

• polo na origem: $-90^\circ$
• polo em $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Então a fase exata é

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Isso dá três pontos de verificação bem claros:

• Em frequência muito baixa, a fase fica próxima de $-90^\circ$.
• Em $\omega = 10$, a fase é $-135^\circ$.
• Em frequência muito alta, a fase se aproxima de $-180^\circ$.

Para um esboço rápido, use a aproximação usual de primeira ordem: comece a mudança de fase em torno de $\omega_p / 10$, passe por $-45^\circ$ em $\omega_p$ e termine perto de $10\omega_p$. Aqui, a queda extra de fase acontece aproximadamente de $\omega = 1$ até $\omega = 100$.

O Que o Diagrama de Bode Final Mostra

Depois que o esboço está pronto, você consegue ler o comportamento rapidamente.

• As altas frequências são mais atenuadas do que as baixas neste exemplo.
• A quebra em $\omega = 10$ é onde a queda passa a ser mais acentuada.
• O atraso de fase aumenta à medida que a frequência cresce.

Essa combinação é típica de uma resposta passa-baixas com um integrador.

Erros Comuns em Diagramas de Bode

• Usar um eixo de frequência linear em vez de um logarítmico.
• Multiplicar magnitudes no gráfico em vez de somá-las em dB.
• Usar $10 \log_{10}$ para razões de amplitude. Para a magnitude da função de transferência, use $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Esquecer um polo ou zero na origem, o que muda a inclinação em toda parte.
• Tratar o esboço em reta como exato perto de uma frequência de canto.

Quando os Diagramas de Bode São Usados

Os diagramas de Bode são úteis quando você quer saber como um sistema responde a diferentes frequências.

• Em eletrônica, eles descrevem filtros e amplificadores.
• Em controle, eles ajudam a estimar largura de banda, comportamento de cruzamento e atraso de fase.
• Em processamento de sinais, eles mostram quais frequências passam e quais são suprimidas.

Eles são especialmente úteis quando o sistema é linear e invariante no tempo e a função de transferência pode ser escrita em termos de polos e zeros.

Tente um Esboço Parecido

Tente fazer sua própria versão com

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Marque primeiro as frequências de quebra e depois some as mudanças de inclinação e fase, um fator de cada vez. Se quiser ir um passo além, compare seu esboço com uma ferramenta de gráficos e veja onde a aproximação em reta mais se afasta da curva real.