Đồ thị Bode — Cách vẽ

Để vẽ đồ thị Bode, trước hết hãy phân tích hàm truyền thành các thừa số, rồi cộng ảnh hưởng của từng hệ số khuếch đại, cực và zero trên trục tần số logarit. Thông thường bạn sẽ phác thảo hai đồ thị: biên độ theo dB và pha theo độ của $G(j\omega)$.

Với hàm truyền $G(s)$, các đại lượng chuẩn là

$$\text{biên độ theo dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

và

$$\text{pha} = \angle G(j\omega).$$

Điểm đơn giản hóa quan trọng là phép nhân trong hàm truyền trở thành phép cộng trên đồ thị Bode. Vì vậy, ngay cả một biểu thức phức tạp vẫn có thể được phác thảo bằng tay.

Cách Vẽ Nhanh Đồ Thị Bode

Hãy làm theo thứ tự này:

1. Viết lại hàm truyền thành các thừa số đơn giản.
2. Đánh dấu từng tần số gãy trên trục tần số logarit.
3. Cộng phần đóng góp biên độ của từng thừa số theo dB.
4. Cộng phần đóng góp pha của từng thừa số.

Một dạng phân tích thừa số thường gặp là

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Ở đây, $K$ là hệ số khuếch đại hằng, mỗi $\omega_z$ là tần số zero, và mỗi $\omega_p$ là tần số cực.

Tác Dụng Của Từng Thừa Số

Hệ Số Khuếch Đại Hằng $K$

• Biên độ: cộng $20 \log_{10}|K|$ dB ở mọi nơi.
• Pha: cộng $0^\circ$ nếu $K > 0$. Nếu $K < 0$, pha lệch $180^\circ$ tùy theo quy ước góc của bạn.

Zero Tại $\omega_z$

Với thừa số $(1 + s / \omega_z)$:

• Biên độ: xấp xỉ $0$ dB trước $\omega_z$, sau đó có độ dốc $+20$ dB/decade sau $\omega_z$.
• Pha: tăng từ khoảng $0^\circ$ lên khoảng $+90^\circ$ qua vùng chuyển tiếp quanh $\omega_z$.

Cực Tại $\omega_p$

Với thừa số $(1 + s / \omega_p)$ ở mẫu số:

• Biên độ: xấp xỉ $0$ dB trước $\omega_p$, sau đó có độ dốc $-20$ dB/decade sau $\omega_p$.
• Pha: giảm từ khoảng $0^\circ$ xuống khoảng $-90^\circ$ qua vùng chuyển tiếp quanh $\omega_p$.

Cực Hoặc Zero Tại Gốc Tọa Độ

Với thừa số $s$ ở mẫu số:

• Biên độ: độ dốc $-20$ dB/decade ở mọi tần số.
• Pha: hằng số $-90^\circ$.

Với thừa số $s$ ở tử số:

• Biên độ: độ dốc $+20$ dB/decade ở mọi tần số.
• Pha: hằng số $+90^\circ$.

Các đường thẳng này là các tiệm cận, không phải đường cong chính xác. Gần một tần số gãy, đồ thị thực sẽ uốn cong một cách trơn tru.

Ví Dụ Mẫu: Vẽ $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Ví dụ này có một hệ số khuếch đại hằng, một cực tại gốc tọa độ và một cực bậc nhất tại $\omega = 10$. Chừng đó là đủ để minh họa toàn bộ quy trình phác thảo mà không cần thêm đại số rườm rà.

Bước 1: Thay $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Bước 2: Phác Thảo Đồ Thị Biên Độ

Biên độ chính xác là

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Vì vậy biên độ chính xác theo decibel là

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Khi phác thảo bằng tay, cách nhanh hơn là cộng phần đóng góp của từng thừa số:

• Hệ số khuếch đại $10$: $+20$ dB ở mọi nơi.
• Cực tại gốc tọa độ: độ dốc $-20$ dB/decade ở mọi nơi.
• Cực tại $10$: không thêm độ dốc trước $\omega = 10$, rồi thêm $-20$ dB/decade sau đó.

Vậy tổng độ dốc là:

• $-20$ dB/decade với $\omega < 10$
• $-40$ dB/decade với $\omega > 10$

Hãy dùng một điểm mốc để đặt vị trí đường thẳng. Tại $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

nên

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Điều đó đặt đường phác thảo tiệm cận gần mức $20$ dB tại $\omega = 1$. Nó đạt khoảng $0$ dB tại $\omega = 10$, rồi giảm với độ dốc $-40$ dB/decade sau điểm gãy.

Tại tần số góc, đường cong chính xác thấp hơn tiệm cận. Với một cực bậc nhất, độ chênh khoảng $3$ dB, nên ở đây

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

xấp xỉ $-3$ dB.

Bước 3: Phác Thảo Đồ Thị Pha

Pha là tổng các phần đóng góp pha:

• cực tại gốc tọa độ: $-90^\circ$
• cực tại $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Vậy pha chính xác là

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Điều này cho ba mốc rõ ràng:

• Ở tần số rất thấp, pha gần $-90^\circ$.
• Tại $\omega = 10$, pha là $-135^\circ$.
• Ở tần số rất cao, pha tiến tới $-180^\circ$.

Để phác nhanh, dùng xấp xỉ bậc nhất quen thuộc: bắt đầu đổi pha quanh $\omega_p / 10$, đi qua $-45^\circ$ tại $\omega_p$, và gần như hoàn tất tại $10\omega_p$. Ở đây phần giảm pha thêm xảy ra xấp xỉ từ $\omega = 1$ đến $\omega = 100$.

Đồ Thị Bode Hoàn Chỉnh Cho Bạn Biết Điều Gì

Khi phác thảo xong, bạn có thể đọc nhanh đặc tính của hệ.

• Trong ví dụ này, tần số cao bị suy giảm mạnh hơn tần số thấp.
• Điểm gãy tại $\omega = 10$ là nơi độ suy giảm trở nên dốc hơn.
• Độ trễ pha tăng khi tần số tăng.

Tổ hợp này là điển hình của đáp ứng thông thấp có phần tử tích phân.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Vẽ Đồ Thị Bode

• Dùng trục tần số tuyến tính thay vì trục logarit.
• Nhân các biên độ trên đồ thị thay vì cộng chúng theo dB.
• Dùng $10 \log_{10}$ cho tỉ số biên độ. Với biên độ của hàm truyền, hãy dùng $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Quên một cực hoặc zero tại gốc tọa độ, làm thay đổi độ dốc ở mọi nơi.
• Xem đường phác thảo tiệm cận là chính xác tại vùng gần tần số góc.

Khi Nào Dùng Đồ Thị Bode

Đồ thị Bode hữu ích khi bạn quan tâm hệ đáp ứng với các tần số khác nhau như thế nào.

• Trong điện tử, chúng mô tả bộ lọc và bộ khuếch đại.
• Trong điều khiển, chúng giúp ước lượng băng thông, đặc tính giao cắt và độ trễ pha.
• Trong xử lý tín hiệu, chúng cho thấy những tần số nào được cho qua hoặc bị suy giảm.

Chúng đặc biệt hữu ích khi hệ là tuyến tính, bất biến theo thời gian và hàm truyền có thể viết dưới dạng các cực và zero.

Thử Một Bản Phác Thảo Tương Tự

Hãy tự thử với

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Trước tiên hãy đánh dấu các tần số gãy, rồi cộng các thay đổi về độ dốc và pha từng thừa số một. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy so sánh bản phác thảo của bạn với một công cụ vẽ đồ thị và kiểm tra nơi mà xấp xỉ đường thẳng sai khác nhiều nhất.