Bode-Diagramm — So zeichnet man es

Um ein Bode-Diagramm zu zeichnen, faktorisiert man zuerst die Übertragungsfunktion und addiert dann die Wirkung jeder Verstärkung, jedes Pols und jeder Nullstelle auf einer logarithmischen Frequenzachse. Meist skizziert man zwei Graphen: den Betrag in dB und die Phase in Grad für $G(j\omega)$.

Für eine Übertragungsfunktion $G(s)$ sind die Standardgrößen

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

und

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

Die wichtigste Vereinfachung ist, dass Multiplikation in der Übertragungsfunktion im Bode-Diagramm zu Addition wird. Deshalb kann man auch einen komplizierten Ausdruck noch von Hand skizzieren.

So zeichnet man ein Bode-Diagramm schnell

Verwende diese Reihenfolge:

1. Schreibe die Übertragungsfunktion als einfache Faktoren.
2. Markiere jede Eckfrequenz auf einer logarithmischen Frequenzachse.
3. Addiere den Betragsbeitrag jedes Faktors in dB.
4. Addiere den Phasenbeitrag jedes Faktors.

Eine häufige faktorisierte Form ist

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Hier ist $K$ eine konstante Verstärkung, jedes $\omega_z$ eine Nullstellenfrequenz und jedes $\omega_p$ eine Polfrequenz.

Was jeder Faktor bewirkt

Konstante Verstärkung $K$

• Betrag: addiere überall $20 \log_{10}|K|$ dB.
• Phase: addiere $0^\circ$, wenn $K > 0$. Falls $K < 0$, unterscheidet sich die Phase je nach Winkelkonvention um $180^\circ$.

Nullstelle bei $\omega_z$

Für einen Faktor $(1 + s / \omega_z)$:

• Betrag: ungefähr $0$ dB vor $\omega_z$, danach Steigung $+20$ dB/Dekade.
• Phase: steigt über den Übergangsbereich um $\omega_z$ von etwa $0^\circ$ auf etwa $+90^\circ$.

Pol bei $\omega_p$

Für einen Faktor $(1 + s / \omega_p)$ im Nenner:

• Betrag: ungefähr $0$ dB vor $\omega_p$, danach Steigung $-20$ dB/Dekade.
• Phase: fällt über den Übergangsbereich um $\omega_p$ von etwa $0^\circ$ auf etwa $-90^\circ$.

Pol oder Nullstelle im Ursprung

Für einen Faktor $s$ im Nenner:

• Betrag: Steigung $-20$ dB/Dekade bei allen Frequenzen.
• Phase: konstant $-90^\circ$.

Für einen Faktor $s$ im Zähler:

• Betrag: Steigung $+20$ dB/Dekade bei allen Frequenzen.
• Phase: konstant $+90^\circ$.

Diese Geraden sind Asymptoten, keine exakten Kurven. In der Nähe einer Eckfrequenz biegt sich der echte Graph glatt.

Durchgerechnetes Beispiel: Zeichne $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Dieses Beispiel hat eine konstante Verstärkung, einen Pol im Ursprung und einen Pol erster Ordnung bei $\omega = 10$. Das reicht aus, um den ganzen Skizzierprozess ohne zusätzliche Algebra zu zeigen.

Schritt 1: Setze $s = j\omega$ ein

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Schritt 2: Skizziere den Betragsgang

Der exakte Betrag ist

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Also ist der exakte Betrag in Dezibel

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Für eine Handskizze ist es schneller, die Beiträge Faktor für Faktor zu addieren:

• Verstärkung $10$: überall $+20$ dB.
• Pol im Ursprung: überall Steigung $-20$ dB/Dekade.
• Pol bei $10$: keine zusätzliche Steigung vor $\omega = 10$, danach noch einmal $-20$ dB/Dekade.

Damit ist die Gesamtsteigung:

• $-20$ dB/Dekade für $\omega < 10$
• $-40$ dB/Dekade für $\omega > 10$

Verwende einen Stützpunkt, um die Gerade zu platzieren. Bei $\omega = 1$ gilt

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

also

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

Damit liegt die Geraden-Näherung bei $\omega = 1$ in der Nähe von $20$ dB. Sie erreicht bei $\omega = 10$ ungefähr $0$ dB und fällt nach der Ecke mit der Steigung $-40$ dB/Dekade weiter.

An der Eckfrequenz liegt die exakte Kurve unter der Asymptote. Für einen Pol erster Ordnung beträgt der Unterschied etwa $3$ dB, also gilt hier

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

das sind ungefähr $-3$ dB.

Schritt 3: Skizziere den Phasengang

Die Phase ist die Summe der Phasenbeiträge:

• Pol im Ursprung: $-90^\circ$
• Pol bei $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Damit ist die exakte Phase

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Das liefert drei gute Kontrollpunkte:

• Bei sehr niedriger Frequenz liegt die Phase nahe bei $-90^\circ$.
• Bei $\omega = 10$ ist die Phase $-135^\circ$.
• Bei sehr hoher Frequenz nähert sich die Phase $-180^\circ$.

Für eine schnelle Skizze verwendet man die übliche Näherung erster Ordnung: Beginne die Phasenänderung ungefähr bei $\omega_p / 10$, gehe bei $\omega_p$ durch $-45^\circ$ und beende sie in der Nähe von $10\omega_p$. Hier passiert der zusätzliche Phasenabfall also ungefähr von $\omega = 1$ bis $\omega = 100$.

Was dir das fertige Bode-Diagramm sagt

Sobald die Skizze fertig ist, kannst du das Verhalten schnell ablesen.

• Hohe Frequenzen werden in diesem Beispiel stärker gedämpft als niedrige.
• Die Ecke bei $\omega = 10$ ist der Punkt, an dem der Abfall steiler wird.
• Die Phasenverzögerung wächst mit steigender Frequenz.

Diese Kombination ist typisch für ein Tiefpassverhalten mit einem Integrator.

Häufige Fehler bei Bode-Diagrammen

• Eine lineare statt einer logarithmischen Frequenzachse verwenden.
• Beträge im Diagramm multiplizieren, statt sie in dB zu addieren.
• $10 \log_{10}$ für Amplitudenverhältnisse verwenden. Für den Betrag der Übertragungsfunktion gilt $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Einen Pol oder eine Nullstelle im Ursprung vergessen, was die Steigung überall verändert.
• Die Geraden-Näherung in der Nähe einer Eckfrequenz als exakt behandeln.

Wann Bode-Diagramme verwendet werden

Bode-Diagramme sind nützlich, wenn dich interessiert, wie ein System auf verschiedene Frequenzen reagiert.

• In der Elektronik beschreiben sie Filter und Verstärker.
• In der Regelungstechnik helfen sie dabei, Bandbreite, Durchtrittsverhalten und Phasenverzögerung abzuschätzen.
• In der Signalverarbeitung zeigen sie, welche Frequenzen durchgelassen oder unterdrückt werden.

Sie sind besonders hilfreich, wenn das System linear und zeitinvariant ist und sich die Übertragungsfunktion durch Pole und Nullstellen schreiben lässt.

Probiere eine ähnliche Skizze

Probiere deine eigene Version mit

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Markiere zuerst die Eckfrequenzen und addiere dann die Steigungs- und Phasenänderungen Faktor für Faktor. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, vergleiche deine Skizze mit einem Grafikwerkzeug und prüfe, wo die Geraden-Näherung am stärksten abweicht.