ボード線図の描き方

ボード線図を描くには、まず伝達関数を因数分解し、その後で各ゲイン・極・零点の効果を対数周波数軸上で足し合わせます。通常は、$G(j\omega)$ に対して、dBで表したゲイン線図と度で表した位相線図の2つを描きます。

伝達関数 $G(s)$ に対して、標準的に使う量は

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

および

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

です。

重要な簡略化は、伝達関数での掛け算がボード線図では足し算になることです。だからこそ、複雑な式でも手でスケッチできます。

ボード線図を手早く描く方法

次の順番で進めます。

1. 伝達関数を単純な因子の積に書き直す。
2. 対数周波数軸に各折点周波数を記入する。
3. 各因子のゲインへの寄与を dB で足す。
4. 各因子の位相への寄与を足す。

よくある因数分解形は

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

です。

ここで、$K$ は定数ゲイン、各 $\omega_z$ は零点周波数、各 $\omega_p$ は極周波数です。

各因子の役割

定数ゲイン $K$

• ゲイン: 全周波数で $20 \log_{10}|K|$ dB を加える。
• 位相: $K > 0$ なら $0^\circ$ を加える。$K < 0$ なら、位相は角度の取り方に応じて $180^\circ$ だけ異なる。

$\omega_z$ にある零点

因子 $(1 + s / \omega_z)$ に対して:

• ゲイン: $\omega_z$ より前ではおよそ $0$ dB、その後は傾き $+20$ dB/decade。
• 位相: $\omega_z$ 付近の遷移を通して、およそ $0^\circ$ からおよそ $+90^\circ$ へ上がる。

$\omega_p$ にある極

分母の因子 $(1 + s / \omega_p)$ に対して:

• ゲイン: $\omega_p$ より前ではおよそ $0$ dB、その後は傾き $-20$ dB/decade。
• 位相: $\omega_p$ 付近の遷移を通して、およそ $0^\circ$ からおよそ $-90^\circ$ へ下がる。

原点にある極または零点

分母に因子 $s$ がある場合:

• ゲイン: 全周波数で傾き $-20$ dB/decade。
• 位相: 一定で $-90^\circ$。

分子に因子 $s$ がある場合:

• ゲイン: 全周波数で傾き $+20$ dB/decade。
• 位相: 一定で $+90^\circ$。

これらの直線は漸近線であり、正確な曲線ではありません。折点周波数の近くでは、実際のグラフはなめらかに曲がります。

例題: $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$ を描く

この例には、1つの定数ゲイン、1つの原点極、そして $\omega = 10$ に1つの1次極があります。余分な代数計算なしで、スケッチの流れ全体を示すにはこれで十分です。

ステップ1: $s = j\omega$ を代入する

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

ステップ2: ゲイン線図をスケッチする

正確なゲインは

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

したがって、dB での正確なゲインは

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

です。

手描きのスケッチでは、因子ごとの寄与を足すほうが速くなります。

• ゲイン $10$: 全周波数で $+20$ dB。
• 原点極: 全周波数で傾き $-20$ dB/decade。
• $10$ の極: $\omega = 10$ より前では傾きの追加なし、その後さらに $-20$ dB/decade。

したがって、全体の傾きは次のようになります。

• $\omega < 10$ では $-20$ dB/decade
• $\omega > 10$ では $-40$ dB/decade

直線を配置するために、基準点を1つ使います。$\omega = 1$ では

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

なので

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

したがって、直線近似のスケッチは $\omega = 1$ でおよそ $20$ dB の位置にきます。その後、$\omega = 10$ でおよそ $0$ dB に達し、折点以降は傾き $-40$ dB/decade で下がります。

コーナー周波数では、正確な曲線は漸近線より低くなります。1次極では差はおよそ $3$ dB なので、この場合

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

となり、これはおよそ $-3$ dB です。

ステップ3: 位相線図をスケッチする

位相は、各位相寄与の和です。

• 原点極: $-90^\circ$
• $10$ の極: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

したがって、正確な位相は

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

です。

ここから、わかりやすい3つの確認点が得られます。

• 非常に低い周波数では、位相は $-90^\circ$ に近い。
• $\omega = 10$ では、位相は $-135^\circ$。
• 非常に高い周波数では、位相は $-180^\circ$ に近づく。

素早くスケッチするには、よく使う1次近似を使います。位相変化はおよそ $\omega_p / 10$ から始まり、$\omega_p$ で $-45^\circ$ を通り、$10\omega_p$ 付近でほぼ終わります。この例では、追加の位相低下はおよそ $\omega = 1$ から $\omega = 100$ の範囲で起こります。

完成したボード線図からわかること

スケッチができれば、挙動をすばやく読み取れます。

• この例では、高周波は低周波より強く減衰される。
• $\omega = 10$ の折点で、ロールオフがより急になる。
• 周波数が上がるにつれて、位相遅れが大きくなる。

この組み合わせは、積分器を含むローパス応答に典型的です。

ボード線図でよくあるミス

• 対数周波数軸ではなく線形周波数軸を使ってしまう。
• グラフ上でゲインを掛け算してしまい、dB で足し算しない。
• 振幅比に $10 \log_{10}$ を使ってしまう。伝達関数のゲインには $20 \log_{10}|G(j\omega)|$ を使う。
• 原点の極や零点を見落とし、全体の傾きが変わることを忘れる。
• コーナー周波数付近でも直線近似を正確なものとして扱ってしまう。

ボード線図はいつ使うか

ボード線図は、系が周波数ごとにどう応答するかを知りたいときに役立ちます。

• 電子回路では、フィルタや増幅器を表す。
• 制御では、帯域幅、クロスオーバー付近の挙動、位相遅れの見積もりに役立つ。
• 信号処理では、どの周波数が通過し、どの周波数が抑えられるかを示す。

特に、系が線形時不変で、伝達関数を極と零点で表せるときに有用です。

似たスケッチを自分でやってみる

次の式で自分でも試してみてください。

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

まず折点周波数を記入し、その後で傾きと位相の変化を因子ごとに1つずつ足していきます。さらに一歩進めたいなら、作図ツールのグラフと自分のスケッチを比べて、直線近似との差が最も大きい場所を確認してみてください。