การวาด Bode plot ให้เริ่มจากแยกตัวประกอบของฟังก์ชันถ่ายโอนก่อน แล้วค่อยรวมผลของเกน โพล และซีโร่แต่ละตัวบนแกนความถี่แบบลอการิทึม โดยทั่วไปคุณจะสเก็ตช์กราฟ 2 กราฟ คือกราฟขนาดในหน่วย dB และกราฟเฟสเป็นองศาของ G(jω)G(j\omega)

สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอน G(s)G(s) ปริมาณมาตรฐานที่ใช้คือ

magnitude in dB=20log⁡10∣G(jω)∣\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|

และ

phase=∠G(jω).\text{phase} = \angle G(j\omega).

แนวคิดสำคัญที่ช่วยให้เรื่องนี้ง่ายขึ้นคือ การคูณในฟังก์ชันถ่ายโอนจะกลายเป็นการบวกบน Bode plot นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมนิพจน์ที่ซับซ้อนยังสามารถสเก็ตช์ด้วยมือได้

วิธีวาด Bode Plot แบบเร็ว

ใช้ลำดับนี้:

  1. เขียนฟังก์ชันถ่ายโอนใหม่ให้อยู่ในรูปตัวประกอบอย่างง่าย
  2. ทำเครื่องหมายความถี่หักแต่ละจุดบนแกนความถี่แบบลอการิทึม
  3. รวมผลต่อขนาดของแต่ละพจน์ในหน่วย dB
  4. รวมผลต่อเฟสของแต่ละพจน์

รูปแบบที่แยกตัวประกอบแล้วซึ่งพบบ่อยคือ

G(s)=K∏(1+s/ωz)sm∏(1+s/ωp).G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.

ในที่นี้ KK คือเกนคงที่, แต่ละ ωz\omega_z คือความถี่ของซีโร่ และแต่ละ ωp\omega_p คือความถี่ของโพล

พจน์แต่ละแบบมีผลอย่างไร

เกนคงที่ KK

  • ขนาด: บวก 20log⁡10∣K∣20 \log_{10}|K| dB ทุกความถี่
  • เฟส: บวก 0∘0^\circ ถ้า K>0K > 0 ถ้า K<0K < 0 เฟสจะต่างออกไป 180∘180^\circ ขึ้นอยู่กับข้อตกลงเรื่องมุมที่ใช้

ซีโร่ที่ ωz\omega_z

สำหรับพจน์ (1+s/ωz)(1 + s / \omega_z):

  • ขนาด: ประมาณ 00 dB ก่อนถึง ωz\omega_z แล้วมีความชัน +20+20 dB/decade หลัง ωz\omega_z
  • เฟส: เพิ่มจากประมาณ 0∘0^\circ ไปเป็นประมาณ +90∘+90^\circ ในช่วงเปลี่ยนผ่านรอบ ๆ ωz\omega_z

โพลที่ ωp\omega_p

สำหรับพจน์ (1+s/ωp)(1 + s / \omega_p) ที่อยู่ในส่วนตัวส่วน:

  • ขนาด: ประมาณ 00 dB ก่อนถึง ωp\omega_p แล้วมีความชัน −20-20 dB/decade หลัง ωp\omega_p
  • เฟส: ลดจากประมาณ 0∘0^\circ ไปเป็นประมาณ −90∘-90^\circ ในช่วงเปลี่ยนผ่านรอบ ๆ ωp\omega_p

โพลหรือซีโร่ที่จุดกำเนิด

สำหรับพจน์ ss ในตัวส่วน:

  • ขนาด: มีความชัน −20-20 dB/decade ทุกความถี่
  • เฟส: คงที่ที่ −90∘-90^\circ

สำหรับพจน์ ss ในตัวเศษ:

  • ขนาด: มีความชัน +20+20 dB/decade ทุกความถี่
  • เฟส: คงที่ที่ +90∘+90^\circ

เส้นตรงเหล่านี้เป็นเส้นกำกับแนวโน้ม ไม่ใช่กราฟจริงแบบเป๊ะ ๆ ใกล้ความถี่หัก กราฟจริงจะโค้งอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างทำจริง: วาด G(s)=10s(1+s/10)G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}

ตัวอย่างนี้มีเกนคงที่หนึ่งตัว โพลที่จุดกำเนิดหนึ่งตัว และโพลอันดับหนึ่งที่ ω=10\omega = 10 เพียงเท่านี้ก็พอจะแสดงขั้นตอนการสเก็ตช์ทั้งหมดได้โดยไม่ต้องมีพีชคณิตเพิ่ม

ขั้นที่ 1: แทน s=jωs = j\omega

G(jω)=10jω(1+jω/10).G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.

ขั้นที่ 2: สเก็ตช์กราฟขนาด

ขนาดที่แน่นอนคือ

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

ดังนั้นขนาดในหน่วยเดซิเบลที่แน่นอนคือ

20log⁡10∣G(jω)∣=20−20log⁡10ω−10log⁡10(1+(ω/10)2).20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).

ถ้าจะสเก็ตช์ด้วยมือ การรวมผลทีละพจน์จะเร็วกว่า:

  • เกน 1010: +20+20 dB ทุกความถี่
  • โพลที่จุดกำเนิด: ความชัน −20-20 dB/decade ทุกความถี่
  • โพลที่ 1010: ยังไม่มีความชันเพิ่มก่อน ω=10\omega = 10 แล้วจึงเพิ่มอีก −20-20 dB/decade หลังจากนั้น

ดังนั้นความชันรวมคือ:

  • −20-20 dB/decade สำหรับ ω<10\omega < 10
  • −40-40 dB/decade สำหรับ ω>10\omega > 10

ใช้จุดอ้างอิงหนึ่งจุดเพื่อวางตำแหน่งเส้น ที่ ω=1\omega = 1,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

ดังนั้น

20log⁡10(9.95)≈20 dB.20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.

จึงวางสเก็ตช์แบบเส้นตรงไว้ใกล้ 2020 dB ที่ ω=1\omega = 1 ได้ จากนั้นมันจะลงมาประมาณ 00 dB ที่ ω=10\omega = 10 แล้วลดลงต่อด้วยความชัน −40-40 dB/decade หลังจุดหัก

ที่ความถี่มุม กราฟจริงจะต่ำกว่าเส้นกำกับ สำหรับโพลอันดับหนึ่ง ความต่างจะประมาณ 33 dB ดังนั้นในที่นี้

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

ซึ่งมีค่าประมาณ −3-3 dB

ขั้นที่ 3: สเก็ตช์กราฟเฟส

เฟสคือผลรวมของผลต่อเฟสจากแต่ละพจน์:

  • โพลที่จุดกำเนิด: −90∘-90^\circ
  • โพลที่ 1010: −tan⁡−1(ω/10)-\tan^{-1}(\omega / 10)

ดังนั้นเฟสที่แน่นอนคือ

∠G(jω)=−90∘−tan⁡−1(ω/10).\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).

จึงได้จุดตรวจสอบที่ชัดเจน 3 จุด:

  • ที่ความถี่ต่ำมาก เฟสจะใกล้ −90∘-90^\circ
  • ที่ ω=10\omega = 10 เฟสเท่ากับ −135∘-135^\circ
  • ที่ความถี่สูงมาก เฟสจะเข้าใกล้ −180∘-180^\circ

ถ้าต้องการสเก็ตช์แบบเร็ว ให้ใช้การประมาณมาตรฐานของพจน์อันดับหนึ่ง: เริ่มให้เฟสเปลี่ยนแถว ๆ ωp/10\omega_p / 10, ผ่าน −45∘-45^\circ ที่ ωp\omega_p, และเกือบจบที่ 10ωp10\omega_p ในที่นี้ การลดลงของเฟสเพิ่มเติมจะเกิดคร่าว ๆ ตั้งแต่ ω=1\omega = 1 ถึง ω=100\omega = 100

Bode Plot ที่วาดเสร็จแล้วบอกอะไรได้บ้าง

เมื่อสเก็ตช์เสร็จแล้ว คุณจะอ่านพฤติกรรมของระบบได้อย่างรวดเร็ว

  • ในตัวอย่างนี้ ความถี่สูงถูกลดทอนแรงกว่าความถี่ต่ำ
  • จุดหักที่ ω=10\omega = 10 คือจุดที่การลดลงของกราฟชันขึ้น
  • เฟสล่าช้าเพิ่มขึ้นเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น

ลักษณะรวมแบบนี้พบได้บ่อยในระบบตอบสนองแบบ low-pass ที่มีอินทิเกรเตอร์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการวาด Bode Plot

  • ใช้แกนความถี่เชิงเส้นแทนแกนลอการิทึม
  • คูณค่าขนาดบนกราฟแทนที่จะบวกกันในหน่วย dB
  • ใช้ 10log⁡1010 \log_{10} กับอัตราส่วนแอมพลิจูด สำหรับขนาดของฟังก์ชันถ่ายโอน ให้ใช้ 20log⁡10∣G(jω)∣20 \log_{10}|G(j\omega)|
  • ลืมโพลหรือซีโร่ที่จุดกำเนิด ซึ่งทำให้ความชันเปลี่ยนทุกช่วงความถี่
  • มองว่าสเก็ตช์แบบเส้นตรงเป็นค่าจริงเป๊ะ ๆ ใกล้ความถี่มุม

Bode Plot ใช้เมื่อไร

Bode plot มีประโยชน์เมื่อคุณสนใจว่าระบบตอบสนองต่อความถี่ต่าง ๆ อย่างไร

  • ในอิเล็กทรอนิกส์ ใช้อธิบายฟิลเตอร์และแอมพลิไฟเออร์
  • ในวิชาควบคุม ใช้ช่วยประมาณแบนด์วิดท์ พฤติกรรมที่จุดครอสโอเวอร์ และเฟสล่าช้า
  • ในการประมวลผลสัญญาณ ใช้แสดงว่าความถี่ใดผ่านได้หรือถูกกดทอน

Bode plot มีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อระบบเป็นเชิงเส้น ไม่แปรตามเวลา และฟังก์ชันถ่ายโอนสามารถเขียนในรูปโพลและซีโร่ได้

ลองสเก็ตช์โจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองกับ

G(s)=5(1+s/2)s(1+s/20).G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.

เริ่มจากทำเครื่องหมายความถี่หักก่อน แล้วค่อยรวมการเปลี่ยนแปลงของความชันและเฟสทีละพจน์ ถ้าอยากไปต่ออีกขั้น ให้เปรียบเทียบสเก็ตช์ของคุณกับเครื่องมือวาดกราฟ แล้วดูว่าการประมาณแบบเส้นตรงต่างจากกราฟจริงมากที่สุดตรงไหน

ต้องการความช่วยเหลือในการแก้โจทย์?

อัปโหลดคำถามของคุณแล้วรับคำตอบแบบทีละขั้นตอนที่ผ่านการตรวจสอบในไม่กี่วินาที

เปิด GPAI Solver →