Wykres Bodego — jak go narysować

Aby narysować wykres Bodego, najpierw rozłóż transmitancję na czynniki, a potem dodaj wpływ każdego wzmocnienia, bieguna i zera na logarytmicznej osi częstotliwości. Zwykle szkicuje się dwa wykresy: moduł w dB i fazę w stopniach dla $G(j\omega)$.

Dla transmitancji $G(s)$ standardowe wielkości to

$$\text{magnitude in dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|$$

oraz

$$\text{phase} = \angle G(j\omega).$$

Kluczowe uproszczenie polega na tym, że mnożenie w transmitancji zamienia się w dodawanie na wykresie Bodego. Dlatego nawet złożone wyrażenie da się naszkicować ręcznie.

Jak szybko narysować wykres Bodego

Użyj tej kolejności:

1. Przepisz transmitancję jako proste czynniki.
2. Zaznacz każdą częstotliwość załamania na logarytmicznej osi częstotliwości.
3. Dodaj wkład do modułu od każdego czynnika w dB.
4. Dodaj wkład do fazy od każdego czynnika.

Często spotykana postać iloczynowa to

$$G(s) = K \frac{\prod (1 + s / \omega_z)}{s^m \prod (1 + s / \omega_p)}.$$

Tutaj $K$ jest stałym wzmocnieniem, każde $\omega_z$ jest częstotliwością zera, a każde $\omega_p$ jest częstotliwością bieguna.

Co robi każdy czynnik

Stałe wzmocnienie $K$

• Moduł: dodaj $20 \log_{10}|K|$ dB wszędzie.
• Faza: dodaj $0^\circ$, jeśli $K > 0$. Jeśli $K < 0$, faza różni się o $180^\circ$ zależnie od przyjętej konwencji kąta.

Zero przy $\omega_z$

Dla czynnika $(1 + s / \omega_z)$:

• Moduł: około $0$ dB przed $\omega_z$, potem nachylenie $+20$ dB/dekadę po $\omega_z$.
• Faza: rośnie od około $0^\circ$ do około $+90^\circ$ w obszarze przejścia wokół $\omega_z$.

Biegun przy $\omega_p$

Dla czynnika $(1 + s / \omega_p)$ w mianowniku:

• Moduł: około $0$ dB przed $\omega_p$, potem nachylenie $-20$ dB/dekadę po $\omega_p$.
• Faza: maleje od około $0^\circ$ do około $-90^\circ$ w obszarze przejścia wokół $\omega_p$.

Biegun lub zero w początku układu współrzędnych

Dla czynnika $s$ w mianowniku:

• Moduł: nachylenie $-20$ dB/dekadę dla wszystkich częstotliwości.
• Faza: stałe $-90^\circ$.

Dla czynnika $s$ w liczniku:

• Moduł: nachylenie $+20$ dB/dekadę dla wszystkich częstotliwości.
• Faza: stałe $+90^\circ$.

Te proste są asymptotami, a nie dokładnymi krzywymi. W pobliżu częstotliwości załamania rzeczywisty wykres wygina się płynnie.

Przykład: narysuj $G(s) = \frac{10}{s(1 + s / 10)}$

Ten przykład ma jedno stałe wzmocnienie, jeden biegun w początku układu i jeden biegun pierwszego rzędu przy $\omega = 10$. To wystarcza, aby pokazać cały proces szkicowania bez dodatkowej algebry.

Krok 1: Podstaw $s = j\omega$

$$G(j\omega) = \frac{10}{j\omega(1 + j\omega / 10)}.$$

Krok 2: Naszkicuj wykres modułu

Dokładny moduł wynosi

|G(j\omega)| = \frac\{10\}\{\omega \sqrt\{1 + (\omega / 10)^2\}}.

Zatem dokładny moduł w decybelach to

$$20 \log_{10}|G(j\omega)| = 20 - 20 \log_{10}\omega - 10 \log_{10}\left(1 + (\omega / 10)^2\right).$$

Przy szkicu ręcznym szybciej jest dodać wkłady od poszczególnych czynników:

• Wzmocnienie $10$: $+20$ dB wszędzie.
• Biegun w początku układu: nachylenie $-20$ dB/dekadę wszędzie.
• Biegun przy $10$: bez dodatkowego nachylenia przed $\omega = 10$, potem kolejne $-20$ dB/dekadę.

Zatem całkowite nachylenie wynosi:

• $-20$ dB/dekadę dla $\omega < 10$
• $-40$ dB/dekadę dla $\omega > 10$

Użyj jednego punktu odniesienia, aby umieścić prostą. Dla $\omega = 1$,

|G(j1)| \approx \frac\{10\}\{1 \cdot \sqrt\{1 + 0.1^2\}} \approx 9.95,

więc

$$20 \log_{10}(9.95) \approx 20 \text{ dB}.$$

To umieszcza szkic prostoliniowy w pobliżu $20$ dB przy $\omega = 1$. Osiąga on około $0$ dB przy $\omega = 10$, a potem opada z nachyleniem $-40$ dB/dekadę po załamaniu.

Przy częstotliwości narożnej dokładna krzywa leży niżej niż asymptota. Dla bieguna pierwszego rzędu różnica wynosi około $3$ dB, więc tutaj

|G(j10)| = \frac\{10\}\{10\sqrt\{2\}} = \frac\{1\}\{\sqrt\{2\}},

co daje około $-3$ dB.

Krok 3: Naszkicuj wykres fazy

Faza jest sumą wkładów fazowych:

• biegun w początku układu: $-90^\circ$
• biegun przy $10$: $-\tan^{-1}(\omega / 10)$

Zatem dokładna faza wynosi

$$\angle G(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}(\omega / 10).$$

Daje to trzy czytelne punkty kontrolne:

• Dla bardzo małej częstotliwości faza jest bliska $-90^\circ$.
• Przy $\omega = 10$ faza wynosi $-135^\circ$.
• Dla bardzo dużej częstotliwości faza dąży do $-180^\circ$.

Do szybkiego szkicu użyj typowego przybliżenia dla układu pierwszego rzędu: zacznij zmianę fazy w okolicy $\omega_p / 10$, przejdź przez $-45^\circ$ przy $\omega_p$ i zakończ w pobliżu $10\omega_p$. Tutaj dodatkowy spadek fazy zachodzi mniej więcej od $\omega = 1$ do $\omega = 100$.

Co mówi gotowy wykres Bodego

Gdy szkic jest gotowy, można szybko odczytać zachowanie układu.

• W tym przykładzie wysokie częstotliwości są tłumione silniej niż niskie.
• Załamanie przy $\omega = 10$ to miejsce, w którym opadanie staje się bardziej strome.
• Opóźnienie fazowe rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości.

Taka kombinacja jest typowa dla odpowiedzi dolnoprzepustowej z całkowaniem.

Typowe błędy przy wykresach Bodego

• Używanie liniowej osi częstotliwości zamiast logarytmicznej.
• Mnożenie modułów na wykresie zamiast dodawania ich w dB.
• Używanie $10 \log_{10}$ dla stosunków amplitud. Dla modułu transmitancji używaj $20 \log_{10}|G(j\omega)|$.
• Pomijanie bieguna lub zera w początku układu, co zmienia nachylenie wszędzie.
• Traktowanie szkicu prostoliniowego jako dokładnego w pobliżu częstotliwości narożnej.

Kiedy używa się wykresów Bodego

Wykresy Bodego są przydatne, gdy interesuje Cię, jak układ reaguje na różne częstotliwości.

• W elektronice opisują filtry i wzmacniacze.
• W automatyce pomagają oszacować pasmo, zachowanie w pobliżu częstotliwości przecięcia i opóźnienie fazowe.
• W przetwarzaniu sygnałów pokazują, które częstotliwości są przepuszczane, a które tłumione.

Są szczególnie pomocne wtedy, gdy układ jest liniowy i niezmienny w czasie, a transmitancję można zapisać za pomocą biegunów i zer.

Spróbuj podobnego szkicu

Spróbuj samodzielnie dla

$$G(s) = \frac{5(1 + s / 2)}{s(1 + s / 20)}.$$

Najpierw zaznacz częstotliwości załamania, a potem dodawaj zmiany nachylenia i fazy po jednym czynniku naraz. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, porównaj swój szkic z wykresem z narzędzia graficznego i sprawdź, gdzie przybliżenie prostoliniowe różni się najbardziej.