Hàm lượng giác ngược — Công thức & Đồ thị

Hàm lượng giác ngược trả về một góc từ một giá trị lượng giác. Trong thực tế, $\arcsin x$, $\arccos x$ và $\arctan x$ mỗi hàm chỉ trả về một góc chuẩn, gọi là giá trị chính, chứ không phải mọi góc đều thỏa mãn.

Sự giới hạn đó là điều thiết yếu. Sin, cos và tan lặp lại giá trị trên toàn bộ đồ thị của chúng, nên chúng chỉ có hàm ngược sau khi ta giới hạn chúng trên những khoảng mà mỗi đầu ra chỉ đến từ đúng một góc.

Ý nghĩa của $\arcsin x$, $\arccos x$ và $\arctan x$

Các định nghĩa sau cho thấy cả quan hệ lượng giác lẫn miền giá trị đầu ra được phép:

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Những điều kiện về khoảng này không phải là chi tiết phụ. Chính chúng làm cho hàm ngược chỉ nhận một giá trị duy nhất.

Miền xác định và miền giá trị bạn thật sự cần

Với ba hàm lượng giác ngược mà học sinh dùng thường xuyên nhất:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Hãy đọc mỗi dòng theo thứ tự đầu vào trước, đầu ra sau. Ví dụ, $\arcsin x$ chỉ nhận $-1 \le x \le 1$ vì sin không bao giờ cho giá trị nằm ngoài khoảng đó.

Đồ thị của hàm lượng giác ngược hoạt động như thế nào

Đồ thị của hàm lượng giác ngược là ảnh đối xứng qua đường thẳng $y = x$, nhưng chỉ sau khi hàm lượng giác ban đầu được giới hạn trên một khoảng một-một.

Ví dụ, $y = \arcsin x$ là ảnh đối xứng của đồ thị sin đã giới hạn

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

qua đường thẳng $y = x$.

Ý tưởng tương tự cho ta các cặp tương ứng sau:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Đừng lấy ảnh đối xứng của toàn bộ đồ thị lặp lại của sin, cos hay tan. Đồ thị đầy đủ không vượt qua kiểm tra đường thẳng ngang, nên nó không thể có hàm ngược.

Một ví dụ có lời giải với miền giá trị chính

Tính

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Ta cần góc $y$ sao cho $\cos y = -\frac{1}{2}$. Có nhiều góc thỏa mãn, nhưng $\arccos x$ phải trả về góc nằm trong miền giá trị chính

$$0 \le y \le \pi$$

Trong khoảng đó, góc đúng là $y = \frac{2\pi}{3}$, nên

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Đó là thói quen quan trọng nhất cần hình thành: đừng hỏi bất kỳ góc nào thỏa mãn. Hãy hỏi góc nằm trong đúng miền giá trị.

Những lỗi thường gặp với hàm lượng giác ngược

Lỗi phổ biến nhất là nhầm hàm lượng giác ngược với hàm lượng giác nghịch đảo. $\arcsin x$ không giống $\csc x$, và $\sin^{-1} x$ thường có nghĩa là sin ngược, không phải $1/\sin x$.

Một lỗi phổ biến khác là bỏ qua miền giá trị chính. Chẳng hạn, $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, nhưng

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

vì $\frac{\pi}{6}$ là góc nằm trong miền giá trị cho phép của $\arcsin x$.

Học sinh cũng đôi khi quên miền xác định. Các biểu thức như $\arcsin 2$ và $\arccos(-3)$ không nhận giá trị thực vì sin và cos không cho đầu ra nằm ngoài $[-1,1]$.

Khi nào dùng hàm lượng giác ngược

Hàm lượng giác ngược xuất hiện bất cứ khi nào bạn biết một tỉ số và cần tìm lại góc. Điều đó xảy ra trong hình học tam giác vuông, dẫn đường, các bài toán về độ dốc và hướng, các thành phần vectơ và mô hình hóa dựa trên tam giác.

Chúng cũng quan trọng trong giải tích. Bạn sẽ gặp chúng trong đạo hàm, nguyên hàm như $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$, và các phép thế có chứa biểu thức lượng giác.

Cách nghĩ 2 bước về chúng

Khi tính một biểu thức lượng giác ngược, hãy thực hiện hai kiểm tra sau:

1. Giá trị đã cho phù hợp với hàm lượng giác nào?
2. Góc nào nằm trong miền giá trị chính của hàm đó?

Nếu bạn luôn giữ hai kiểm tra này cùng nhau, các công thức và đồ thị sẽ dễ hiểu hơn nhiều.

Tự thử một phiên bản của bạn

Hãy thử tính $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ và $\arctan(1)$. Nếu bạn chọn miền giá trị chính trước, cả hai đáp án sẽ hiện ra rất nhanh.