Đồ thị lượng giác — Sin, Cos, Tan và các phép biến đổi

Đồ thị lượng giác cho thấy $\sin x$, $\cos x$ và $\tan x$ thay đổi như thế nào khi $x$ thay đổi. Cách đọc nhanh rất đơn giản: sin và cos là các sóng tuần hoàn, tan lặp lại theo từng nhánh với các tiệm cận đứng, còn các phép biến đổi cho biết độ cao, độ rộng, độ tịnh tiến và phép đối xứng của đồ thị gốc.

Nếu bạn vẽ đồ thị từ một phương trình, hãy bắt đầu với bốn câu hỏi: Hàm gốc là gì? Chu kỳ là bao nhiêu? Đường trung bình hoặc đường tâm nằm ở đâu? Đồ thị có bị tịnh tiến hoặc đối xứng không?

Đồ Thị Sin, Cos Và Tan Trông Như Thế Nào

Đồ thị sin cơ bản, $y=\sin x$, đi qua gốc tọa độ và lặp lại sau mỗi $2\pi$ khi $x$ được đo bằng radian. Đồ thị cos cơ bản, $y=\cos x$, có cùng dạng sóng và cùng chu kỳ, nhưng bắt đầu tại giá trị lớn nhất khi $x=0$.

Đồ thị tan cơ bản, $y=\tan x$, có tính chất khác. Nó lặp lại sau mỗi $\pi$, đi qua gốc tọa độ và có các tiệm cận đứng tại những điểm mà $\cos x = 0$. Vì tan không bị chặn, nó không có biên độ.

Nếu lớp học của bạn đo góc bằng độ thay vì radian, thì các chu kỳ cơ bản là $360^\circ$ cho sin và cos, và $180^\circ$ cho tan.

Biên Độ, Chu Kỳ Và Các Phép Tịnh Tiến Làm Thay Đổi Đồ Thị Như Thế Nào

Với sin và cos, một dạng đồ thị thường gặp là

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

hoặc

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

Nếu $x$ tính bằng radian, thì:

• biên độ $= |a|$
• chu kỳ $= \frac{2\pi}{|b|}$
• độ dịch ngang $= h$
• độ dịch dọc $= k$
• đường trung bình $= y=k$

Nếu $a<0$, đồ thị được đối xứng qua đường trung bình. Nếu $b<0$, đồ thị được đối xứng theo phương ngang. Trong nhiều bài phác họa trên lớp, việc quan trọng nhất vẫn là xác định đúng chu kỳ, độ dịch và các điểm chính.

Với tan, dạng thường dùng là

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

và nếu $x$ tính bằng radian,

• chu kỳ $= \frac{\pi}{|b|}$
• độ dịch ngang $= h$
• độ dịch dọc $= k$

Vẫn có hệ số kéo giãn theo phương dọc từ $a$, nhưng nó không được gọi là biên độ vì tan không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

Biên Độ Và Chu Kỳ Có Ý Nghĩa Gì

Biên độ cho biết đồ thị sin hoặc cos đi xa bao nhiêu lên trên và xuống dưới đường trung bình. Nếu biên độ là $3$, đồ thị tăng lên $3$ đơn vị phía trên đường trung bình và giảm xuống $3$ đơn vị phía dưới nó.

Chu kỳ cho biết đồ thị cần đi bao xa theo trục $x$ để hoàn thành một lần lặp đầy đủ. Chu kỳ nhỏ hơn nghĩa là đồ thị bị nén theo phương ngang. Chu kỳ lớn hơn nghĩa là đồ thị bị kéo giãn ra.

Đó là quy luật chính cần nhớ: $a$ và $k$ điều khiển hành vi theo phương dọc, còn $b$ và $h$ điều khiển hành vi theo phương ngang.

Ví Dụ: Vẽ Đồ Thị $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

Bắt đầu với đồ thị gốc $y=\sin x$.

Bây giờ đọc từng phép biến đổi:

• $a=-2$, nên biên độ là $2$ và đồ thị được đối xứng qua đường trung bình.
• $b=1$, nên chu kỳ vẫn là $2\pi$.
• $h=\frac{\pi}{3}$, nên đồ thị dịch sang phải $\frac{\pi}{3}$.
• $k=1$, nên đường trung bình là $y=1$.

Vì vậy đồ thị dao động quanh $y=1$, đạt giá trị lớn nhất tại $y=3$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $y=-1$, và hoàn thành một chu kỳ trên độ rộng $2\pi$.

Để phác họa nhanh, hãy dùng năm giá trị vào chuẩn của sin trong một chu kỳ rồi biến đổi chúng. Các điểm chính trở thành

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

Những điểm đó cho thấy toàn bộ hình dạng: bắt đầu trên đường trung bình, đi xuống trước do phép đối xứng, quay lại đường trung bình, tăng lên đến đỉnh, rồi trở về đường trung bình.

Đây là thói quen giúp tiết kiệm thời gian nhất: biến đổi đồ thị gốc thay vì dựng lại đồ thị từ đầu.

Đồ Thị Tan Sau Biến Đổi Hoạt Động Như Thế Nào

Tan cần một cách hình dung khác vì đồ thị được xây dựng quanh các tiệm cận, chứ không phải quanh các đỉnh và đáy.

Với đồ thị gốc $y=\tan x$, các tiệm cận đứng nằm tại

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

với $n$ là số nguyên, và các nghiệm nằm tại

$$x = n\pi$$

Với đồ thị đã biến đổi $y=a\tan(b(x-h))+k$, các tiệm cận xuất hiện khi

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

nên khoảng cách giữa chúng là $\frac{\pi}{|b|}$ theo radian. Trong $y=\tan(2x)$, khoảng cách đó trở thành $\frac{\pi}{2}$, nên các nhánh lặp lại dày gấp đôi. Khoảng cách này quan trọng hơn việc cố nghĩ theo biên độ.

Những Lỗi Thường Gặp Với Đồ Thị Lượng Giác

Gọi Độ Kéo Giãn Của Tan Là "Biên Độ"

Sin và cos có khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất so với đường trung bình, nên khái niệm biên độ là hợp lý. Tan không tiến tới một mức cố định, nên nó không có biên độ.

Nhầm Dấu Của Độ Dịch Ngang

Trong $y=\sin(x-2)$, đồ thị dịch sang phải $2$, không phải sang trái. Dấu bên trong ngoặc lúc đầu thường dễ gây nhầm.

Nhầm Công Thức Chu Kỳ

Nếu đồ thị được viết với hệ số $b$ bên trong đầu vào, thì chu kỳ được chia cho $|b|$. Với sin và cos, điều đó có nghĩa là $\frac{2\pi}{|b|}$ theo radian. Với tan, đó là $\frac{\pi}{|b|}$.

Quên Trục Đang Dùng Radian Hay Độ

Các công thức ở trên dùng radian. Nếu môn học hoặc đồ thị dùng độ, hãy thay $2\pi$ bằng $360^\circ$ và $\pi$ bằng $180^\circ$.

Khi Nào Đồ Thị Lượng Giác Được Sử Dụng

Đồ thị lượng giác được dùng bất cứ khi nào một mẫu lặp lại. Trong toán học ở trường, chúng giúp bạn hiểu các phép biến đổi, tính tuần hoàn và mối liên hệ giữa đường tròn lượng giác với các hàm số. Ngoài bối cảnh đó, các dạng đồ thị này cũng xuất hiện trong sóng, âm thanh, chu kỳ theo mùa, hệ quay và các mô hình tín hiệu.

Bạn không cần toàn bộ bối cảnh mở rộng đó để đọc đúng một đồ thị. Trong hầu hết các lớp học, việc thực tế là xác định dạng gốc, tìm một chu kỳ hoặc một nhánh, rồi theo dõi cẩn thận các phép biến đổi.

Thử Một Bài Tương Tự

Phác họa $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$. Trước tiên hãy xác định biên độ, chu kỳ, độ dịch và đường trung bình trước khi đặt bất kỳ điểm nào. Nếu bạn có thể mô tả đồ thị bằng lời trước khi vẽ, thì các phép biến đổi đã bắt đầu trở nên rõ ràng.