Các hằng đẳng thức lượng giác: Danh sách cốt lõi, ý tưởng chứng minh và ví dụ

Hằng đẳng thức lượng giác là các công thức chứa $\sin$, $\cos$, $\tan$ và các hàm liên quan, đúng với mọi góc mà cả hai vế đều xác định. Nếu bạn đang tìm các hằng đẳng thức lượng giác chuẩn dùng trong đại số, tiền giải tích và giải tích nhập môn, thì danh sách cốt lõi gồm các hằng đẳng thức nghịch đảo, thương, Pythagore, chẵn-lẻ, hàm bù, tổng-hiệu góc, góc đôi và góc nửa.

Cách nhanh nhất để ghi nhớ chúng là nhóm theo mục đích sử dụng. Có công thức viết lại một hàm lượng giác theo hàm khác, có công thức liên hệ $\sin \theta$ và $\cos \theta$, và có công thức đổi góc từ $\theta$ thành $2\theta$ hoặc $\theta/2$.

Điều gì làm cho một phương trình trở thành hằng đẳng thức lượng giác?

Một hằng đẳng thức đúng với mọi góc trong miền xác định của nó. Ví dụ,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

là một hằng đẳng thức vì nó đúng với mọi $\theta$.

Ngược lại,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

không phải là hằng đẳng thức. Nó chỉ đúng với một số góc cụ thể.

Điều kiện miền xác định rất quan trọng. Ví dụ,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

chỉ đúng khi $\cos \theta \neq 0$.

Danh sách các hằng đẳng thức lượng giác cốt lõi

Hằng đẳng thức nghịch đảo

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Mỗi công thức đều yêu cầu mẫu số khác $0$.

Hằng đẳng thức thương

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Đây thường là bước đầu tiên trong các bài toán rút gọn vì chúng viết lại mọi thứ theo $\sin$ và $\cos$.

Hằng đẳng thức Pythagore

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Hằng đẳng thức đầu tiên là nguồn gốc của hai hằng đẳng thức còn lại.

Hằng đẳng thức chẵn-lẻ

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Mẫu này cũng mở rộng cho các hàm nghịch đảo: $\csc$ và $\cot$ là hàm lẻ, còn $\sec$ là hàm chẵn.

Hằng đẳng thức hàm bù

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Các công thức này xuất phát từ các góc phụ nhau.

Hằng đẳng thức tổng và hiệu

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Với các công thức của tang, mẫu số phải khác $0$.

Hằng đẳng thức góc đôi

Đặt $\alpha = \beta = \theta$ trong các công thức tổng góc.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Phiên bản của tang cũng cần $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Hằng đẳng thức góc nửa

Các công thức này có được bằng cách biến đổi các công thức góc đôi.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Với góc được viết dưới dạng $\theta/2$, các dạng căn bậc hai là

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Dấu phụ thuộc vào góc phần tư của $\theta/2$, nên không thể bỏ $\pm$ một cách tùy tiện.

Các hằng đẳng thức lượng giác chính xuất phát từ đâu

Đường tròn đơn vị cho hằng đẳng thức Pythagore đầu tiên

Trên đường tròn đơn vị, điểm ứng với góc $\theta$ là $(\cos \theta, \sin \theta)$. Vì mọi điểm trên đường tròn đó đều thỏa mãn $x^2 + y^2 = 1$, thay $x = \cos \theta$ và $y = \sin \theta$ ta được

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Đó là hằng đẳng thức Pythagore cơ bản.

Các hằng đẳng thức Pythagore khác có được từ phép chia

Nếu $\cos \theta \neq 0$, chia

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

cho $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Nếu $\sin \theta \neq 0$, chia cho $\sin^2 \theta$ ta được

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Hằng đẳng thức góc đôi xuất phát từ công thức tổng góc

Bắt đầu với

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

và đặt $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Các hằng đẳng thức góc đôi của cos và tan cũng được suy ra theo cách tương tự.

Ví dụ giải mẫu: rút gọn một biểu thức góc đôi

Rút gọn

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

với các góc mà biểu thức ban đầu xác định.

Dùng các hằng đẳng thức góc đôi:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

và

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Bây giờ thay vào:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Kết luận này chỉ đúng tại những nơi mẫu số ban đầu khác $0$, tức là $\sin(2\theta) \neq 0$. Điều kiện đó rất quan trọng vì việc khử một thừa số có thể che mất những giá trị đã bị loại ngay từ đầu.

Những lỗi thường gặp với hằng đẳng thức lượng giác

Bỏ qua các điều kiện miền xác định là lỗi gây nhiều rắc rối nhất. Chia cho $\sin \theta$ hoặc $\cos \theta$ chỉ hợp lệ khi đại lượng đó khác $0$.

Một lỗi phổ biến khác là bỏ dấu $\pm$ trong công thức góc nửa. Chỉ riêng căn bậc hai không quyết định được dấu của giá trị lượng giác.

Học sinh cũng hay nhầm $\sin^2 \theta$ với $\sin(\theta^2)$. Ký hiệu $\sin^2 \theta$ có nghĩa là $(\sin \theta)^2$.

Khi nào dùng các hằng đẳng thức lượng giác

Hằng đẳng thức lượng giác xuất hiện bất cứ khi nào bạn cần viết lại một biểu thức thành dạng hữu ích hơn. Điều đó bao gồm rút gọn bài tập, chứng minh hai biểu thức bằng nhau, giải phương trình lượng giác và chuẩn bị cho các chủ đề giải tích như tích phân.

Trong thực tế, nhiều bài toán trở nên dễ hơn khi mọi thứ được viết lại theo $\sin \theta$ và $\cos \theta$.

Hãy thử một bài tương tự

Rút gọn

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

bằng các hằng đẳng thức góc đôi, và nhớ để ý điều kiện miền xác định của biểu thức ban đầu. Nếu muốn làm thêm một bước nữa, hãy so sánh kết quả của bạn với $\tan \theta$.