Tích phân ba lớp — Thể tích, khối lượng và cách tính

Tích phân ba lớp cộng một hàm trên một miền ba chiều. Hai ứng dụng đầu tiên mà sinh viên thường gặp là tính thể tích, khi hàm dưới dấu tích phân là $1$, và tính khối lượng, khi hàm đó là hàm mật độ.

Ta thường viết nó dưới dạng

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

trong đó $E$ là khối và $dV$ là một phần tử thể tích rất nhỏ. Để tính tích phân ba lớp, bạn thường viết lại nó thành một tích phân lặp với các cận khớp với khối đó.

Ý nghĩa của tích phân ba lớp

Có ba phần cần đọc:

• $f(x,y,z)$ là đại lượng đang được cộng dồn.
• $E$ là miền khối nơi ta cộng đại lượng đó.
• $dV$ là một phần thể tích rất nhỏ.

Vì vậy, $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ có nghĩa là “cộng các giá trị của $f$ trên mọi phần thể tích rất nhỏ trong $E$.”

Cách hiểu này thay đổi theo hàm dưới dấu tích phân:

• Nếu $f(x,y,z)=1$, kết quả là thể tích.
• Nếu $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ là mật độ, kết quả là khối lượng.
• Nếu $f$ là nhiệt độ, mật độ điện tích hoặc một đại lượng phân bố khác, kết quả là tổng lượng của đại lượng đó trên toàn khối.

Kết quả không tự động là thể tích. Điều đó phụ thuộc vào ý nghĩa của hàm dưới dấu tích phân.

Cách viết tích phân ba lớp thành tích phân lặp

Phần lớn bài tập trong môn học được tính từng biến một. Dưới các điều kiện quen thuộc trong giải tích, bạn viết lại tích phân ba lớp thành một tích phân lặp như

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Các cận cụ thể phụ thuộc vào miền. Ý chính rất đơn giản: cận trong cùng mô tả lát cắt trong cùng, cận tiếp theo mô tả chồng các lát cắt đó, và cận ngoài cùng mô tả toàn bộ quá trình quét qua khối.

Bạn thường có thể đổi thứ tự lấy tích phân, nhưng khi đó các cận cũng phải đổi theo. Đây là chỗ rất nhiều lỗi thiết lập xuất hiện.

Hệ tọa độ nào giúp việc thiết lập dễ hơn

Tọa độ Descartes

Dùng tọa độ Descartes khi khối được mô tả tự nhiên bằng các mặt phẳng hoặc các cận hình hộp chữ nhật, như các hình hộp và những miền đơn giản bị cắt bởi các đồ thị như $z = x+y$.

Khi đó

$$dV = dx\,dy\,dz$$

theo thứ tự bạn chọn.

Tọa độ trụ

Dùng tọa độ trụ cho các miền có đối xứng tròn quanh một trục, như hình trụ hoặc hình nón. Với

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

phần tử thể tích trở thành

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Hệ số thêm $r$ là bắt buộc. Nó xuất hiện do phép đổi tọa độ.

Tọa độ cầu

Dùng tọa độ cầu khi hình cầu hoặc đối xứng cầu làm miền dễ mô tả hơn. Một quy ước thường gặp là

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

với phần tử thể tích

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Quy ước về các góc có thể khác nhau tùy môn học, nên bạn nên kiểm tra xem lớp của mình dùng quy ước nào.

Ví dụ có lời giải: khối lượng trên hình lập phương đơn vị

Tìm khối lượng của hình lập phương đơn vị

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

nếu mật độ là

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Vì miền là một hình hộp, tọa độ Descartes là lựa chọn tự nhiên:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Lấy tích phân theo $z$ trước:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Vậy tích phân trở thành

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Bây giờ lấy tích phân theo $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Sau đó lấy tích phân theo $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Vậy khối lượng là

$$M=\frac{5}{2}.$$

Ví dụ này cho thấy rõ sự khác nhau giữa thể tích và khối lượng. Nếu mật độ bằng $1$ ở mọi nơi, cùng miền đó sẽ có thể tích bằng $1$. Vì mật độ lớn hơn $1$ trên phần lớn hình lập phương, nên khối lượng thu được lớn hơn.

Những lỗi thường gặp với tích phân ba lớp

1. Dùng các cận không thật sự mô tả đúng khối.
2. Quên rằng thứ tự lấy tích phân quyết định cận nào có thể phụ thuộc vào biến nào.
3. Xem các biến bên ngoài như đang “hoạt động” ở bước trong cùng thay vì giữ chúng là hằng số.
4. Bỏ quên hệ số Jacobian trong tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
5. Gọi kết quả là “thể tích” khi hàm dưới dấu tích phân không phải là $1$.

Khi nào dùng tích phân ba lớp

Tích phân ba lớp xuất hiện khi một đại lượng được phân bố trong một thể tích thay vì dọc theo một đường hay trên một mặt.

• Trong hình học, chúng cho thể tích.
• Trong vật lý và kỹ thuật, chúng cho khối lượng khi mật độ thay đổi trong khối.
• Trong điện từ học và các mô hình chất lưu, chúng cộng điện tích, năng lượng hoặc các đại lượng khác trên một miền 3D.
• Trong xác suất, chúng có thể lấy tích phân của một mật độ trên miền 3D khi có ba biến liên tục.

Cách thiết lập phụ thuộc vào miền. Cách diễn giải phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích phân.

Kiểm tra nhanh trước khi lấy tích phân

Trước khi làm phần đại số, hãy tự hỏi:

1. Ở đây hàm dưới dấu tích phân biểu diễn gì: mật độ thể tích, mật độ khối lượng hay một đại lượng khác?
2. Chính xác tôi đang lấy tích phân trên khối nào?
3. Một hệ tọa độ khác có làm các cận đơn giản hơn không?

Ba bước kiểm tra này thường giúp phát hiện nhiều lỗi hơn bất kỳ mẹo biến đổi ký hiệu nào.

Thử một bài tương tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với $\rho(x,y,z)=2+x$ trên cùng hình lập phương đơn vị và tính khối lượng. Sau đó, hãy xét một hình trụ và quyết định xem tọa độ trụ có làm các cận đơn giản hơn không trước khi bắt đầu lấy tích phân.