三重積分 — 体積・質量・計算方法

三重積分は、三次元領域の上で関数を足し合わせるものです。学生が最初によく見る主な使い道は、被積分関数が $1$ のときの体積と、被積分関数が密度関数のときの質量です。

通常は次のように書きます。

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

ここで $E$ は立体領域、$dV$ は微小な体積要素です。三重積分を計算するには、ふつう、その立体に合った積分範囲をもつ反復積分に書き直します。

三重積分の意味

読むべき要素は3つあります。

• $f(x,y,z)$ は足し合わせる量です。
• $E$ はその量を足し合わせる立体領域です。
• $dV$ は微小な体積のかけらを表します。

したがって $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ は、「$E$ の中にあるすべての微小体積について、$f$ の値を足し合わせる」という意味です。

この解釈は被積分関数によって変わります。

• $f(x,y,z)=1$ なら、結果は体積です。
• $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ が密度なら、結果は質量です。
• $f$ が温度、電荷密度、あるいは他の分布した量なら、結果はその立体全体にわたる総量です。

結果が自動的に体積になるわけではありません。何を表すかは、被積分関数の意味によって決まります。

三重積分を反復積分として書く方法

授業で扱う多くの問題は、1つずつ変数について積分して計算します。微積分で通常仮定する条件のもとでは、三重積分はたとえば次のような反復積分に書き直せます。

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

正確な積分範囲は領域によって決まります。考え方は単純で、いちばん内側の積分区間が最も内側の切片を表し、その次の区間がそれらの切片の積み重なりを表し、外側の区間が立体全体をなぞる範囲を表します。

積分順序はしばしば入れ替えられますが、それに合わせて積分範囲も変えなければなりません。ここで設定ミスがよく起こります。

どの座標系を使うと設定しやすいか

直交座標

箱のような領域や、$z = x+y$ のようなグラフで切られた単純な領域など、平面や長方形型の範囲で自然に表せる立体には直交座標を使います。

このとき

$$dV = dx\,dy\,dz$$

で、順序は選び方によります。

円柱座標

円柱や円すいのように、ある軸のまわりに円対称な領域には円柱座標を使います。

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

とすると、体積要素は

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

となります。この余分な因子 $r$ は省略できません。これは座標変換から生じるものです。

球座標

球や球対称な領域のほうが表しやすいときは、球座標を使います。よく使われる1つの約束は

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

で、体積要素は

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

角度の定義は授業によって異なることがあるので、自分の授業でどの約束を使っているか確認するのが大切です。

例題：単位立方体上の質量

単位立方体

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

の質量を求めます。ただし密度は

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

とします。

領域は箱なので、直交座標を使うのが自然です。

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

まず $z$ について積分します。

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

したがって積分は

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

となります。

次に $y$ について積分します。

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

最後に $x$ について積分します。

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

したがって質量は

$$M=\frac{5}{2}.$$

です。

この例は、体積と質量の違いをはっきり示しています。もし密度がどこでも $1$ なら、同じ領域の体積は $1$ です。ここでは立方体のかなりの部分で密度が $1$ より大きいため、質量はそれより大きくなります。

三重積分でよくあるミス

1. 実際の立体を表していない積分範囲を使ってしまう。
2. 積分順序によって、どの積分区間がどの変数に依存できるかが決まることを忘れる。
3. 内側の積分をするとき、外側の変数を定数として扱わずに動かしてしまう。
4. 円柱座標や球座標でヤコビアンの因子を落としてしまう。
5. 被積分関数が $1$ でないのに、答えを「体積」と呼んでしまう。

三重積分はいつ使われるか

三重積分は、量が線に沿ってではなく、面の上でもなく、体積全体に分布しているときに現れます。

• 幾何では、体積を与えます。
• 物理や工学では、密度が立体内で変化するときの質量を与えます。
• 電磁気学や流体のモデルでは、3次元領域全体にわたる電荷、エネルギー、その他の量を足し合わせます。
• 確率では、3つの連続変数が関わるとき、3次元領域上で密度を積分することがあります。

設定の仕方は領域によって決まり、何を表すかは被積分関数によって決まります。

積分する前のクイックチェック

計算に入る前に、次のことを確認しましょう。

1. この被積分関数は何を表しているか。体積密度か、質量密度か、それとも別の量か。
2. どの立体領域の上で積分しているのか。
3. 別の座標系を使うと積分範囲はもっと簡単になるか。

この3つを確認するだけで、多くの場合、記号操作の工夫よりも多くのミスを防げます。

類題に挑戦してみよう

同じ単位立方体で $\rho(x,y,z)=2+x$ として、自分で質量を求めてみましょう。さらに円柱の問題も考えて、積分を始める前に円柱座標を使うと積分範囲が簡単になるかを確かめてみてください。