Üç Katlı İntegraller — Hacim, Kütle ve Hesaplama Yöntemleri

Üç katlı integraller, bir fonksiyonu üç boyutlu bir bölge üzerinde toplar. Öğrencilerin ilk gördüğü temel kullanım alanları, integrand $1$ olduğunda hacim ve integrand bir yoğunluk fonksiyonu olduğunda kütledir.

Genellikle şu şekilde yazılır:

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

burada $E$ katı bölgeyi, $dV$ ise çok küçük bir hacim elemanını gösterir. Bir üç katlı integrali hesaplamak için genellikle onu, katı bölgeye uyan sınırlarla yazılmış bir itereli integrale dönüştürürsünüz.

Üç katlı integral ne anlama gelir?

Okunacak üç parça vardır:

• $f(x,y,z)$ toplanan niceliktir.
• $E$ bu niceliğin toplandığı katı bölgedir.
• $dV$ çok küçük bir hacim parçası anlamına gelir.

Dolayısıyla $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$, “$E$ içindeki tüm küçük hacim parçaları üzerinde $f$ değerlerini topla” demektir.

Bu yorum, integranda göre değişir:

• Eğer $f(x,y,z)=1$ ise sonuç hacimdir.
• Eğer $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ yoğunluk ise sonuç kütledir.
• Eğer $f$ sıcaklık, yük yoğunluğu veya başka bir dağıtılmış nicelik ise sonuç, bu niceliğin katı bölge üzerindeki toplam miktarıdır.

Sonuç kendiliğinden hacim olmaz. Bu, integrandın neyi temsil ettiğine bağlıdır.

Üç katlı integral itereli integral olarak nasıl yazılır?

Çoğu ders probleminde hesaplama her seferinde bir değişkene göre yapılır. Kalkülüste kullanılan olağan koşullar altında, üç katlı integrali şu tür bir itereli integral olarak yeniden yazarsınız:

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Tam sınırlar bölgeye bağlıdır. Ana fikir basittir: en içteki sınırlar en iç dilimi, sonraki sınırlar bu dilimlerin yığınını ve en dış sınırlar katı bölge boyunca tam taramayı tanımlar.

Çoğu zaman integrasyon sırasını değiştirebilirsiniz, ama sınırların da buna göre değişmesi gerekir. Kurulum hatalarının çoğu burada ortaya çıkar.

Hangi koordinat sistemi kurulumu kolaylaştırır?

Kartezyen koordinatlar

Katı bölge doğal olarak düzlemler veya dikdörtgensel sınırlarla tanımlanıyorsa Kartezyen koordinatları kullanın. Kutular ve $z = x+y$ gibi grafiklerle kesilmiş basit bölgeler buna örnektir.

Bu durumda

$$dV = dx\,dy\,dz$$

seçtiğiniz sıraya göre yazılır.

Silindirik koordinatlar

Bir eksen etrafında dairesel simetriye sahip bölgelerde, örneğin silindir veya konilerde, silindirik koordinatları kullanın. Şu dönüşümle

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

hacim elemanı

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Buradaki ek $r$ çarpanı isteğe bağlı değildir. Koordinat dönüşümünden gelir.

Küresel koordinatlar

Küreler veya küresel simetri bölgeyi tanımlamayı kolaylaştırıyorsa küresel koordinatları kullanın. Yaygın bir gösterim şöyledir:

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

ve hacim elemanı

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Açı gösterimleri dersten derse değişebilir; bu yüzden dersinizde hangi gösterimin kullanıldığını kontrol etmek faydalıdır.

Çözümlü örnek: birim küp üzerinde kütle

Birim küpün kütlesini bulun:

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

yoğunluk

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z$$

ise.

Bölge bir kutu olduğu için doğal seçim Kartezyen koordinatlardır:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Önce $z$’ye göre integre edin:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Böylece integral şu hale gelir:

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Şimdi $y$’ye göre integre edin:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Ardından $x$’e göre integre edin:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Dolayısıyla kütle

$$M=\frac{5}{2}.$$

Bu örnek, hacim ile kütle arasındaki farkı açıkça gösterir. Eğer yoğunluk her yerde $1$ olsaydı, aynı bölgenin hacmi $1$ olurdu. Yoğunluk küpün büyük bir kısmında $1$’den büyük olduğu için kütle daha büyük çıkar.

Üç katlı integrallerde yaygın hatalar

1. Katı bölgeyi gerçekten tanımlamayan sınırlar kullanmak.
2. İntegrasyon sırasının, hangi sınırların hangi değişkenlere bağlı olabileceğini belirlediğini unutmak.
3. İç integral alınırken dış değişkenleri sabit tutmak yerine aktif değişken gibi davranmak.
4. Silindirik veya küresel koordinatlarda Jacobian çarpanını atlamak.
5. İntegrand $1$ değilken sonuca “hacim” demek.

Üç katlı integraller ne zaman kullanılır?

Üç katlı integraller, bir nicelik bir doğru boyunca ya da bir yüzey üzerinde değil de bir hacim boyunca dağılmış olduğunda ortaya çıkar.

• Geometride hacim verirler.
• Fizik ve mühendislikte, yoğunluk katı boyunca değişiyorsa kütleyi verirler.
• Elektromanyetizma ve akışkan modellerinde, üç boyutlu bir bölge üzerinde yük, enerji veya başka nicelikleri toplarlar.
• Olasılıkta, üç sürekli değişken söz konusu olduğunda, üç boyutlu bir bölgede bir yoğunluğu integre edebilirler.

Kurulum bölgeye bağlıdır. Yorum ise integranda bağlıdır.

İntegrale başlamadan önce hızlı kontrol

Cebirsel işlemlere başlamadan önce şunları sorun:

1. Burada integrand neyi temsil ediyor: hacim yoğunluğu, kütle yoğunluğu, yoksa başka bir şey mi?
2. Tam olarak hangi katı bölge üzerinde integral alıyorum?
3. Farklı bir koordinat sistemi sınırları daha basit hale getirir mi?

Bu üç kontrol, çoğu zaman herhangi bir sembolik yöntemden daha fazla hatayı yakalar.

Benzer bir problem dene

Aynı birim küp üzerinde $\rho(x,y,z)=2+x$ için kendi versiyonunu çöz ve kütleyi hesapla. Sonra bir silindiri incele ve integrale başlamadan önce silindirik koordinatların sınırları daha basit yapıp yapmadığına karar ver.