ปริพันธ์สามชั้น — ปริมาตร มวล และวิธีคำนวณ

ปริพันธ์สามชั้นคือการรวมค่าของฟังก์ชันบนบริเวณสามมิติ การใช้งานหลักที่นักเรียนมักเจอเป็นอย่างแรกคือการหาปริมาตร เมื่อฟังก์ชันที่อินทิเกรตเป็น $1$ และการหามวล เมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันความหนาแน่น

โดยทั่วไปจะเขียนเป็น

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

โดยที่ $E$ คือบริเวณของแข็ง และ $dV$ คือหน่วยปริมาตรเล็กมาก ในการคำนวณปริพันธ์สามชั้น เรามักเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปปริพันธ์ซ้อนที่มีขอบเขตสอดคล้องกับของแข็งนั้น

ปริพันธ์สามชั้นมีความหมายอย่างไร

มี 3 ส่วนที่ต้องอ่าน:

• $f(x,y,z)$ คือปริมาณที่กำลังถูกรวม
• $E$ คือบริเวณของแข็งที่เรารวมค่านั้น
• $dV$ หมายถึงชิ้นส่วนปริมาตรเล็กมาก

ดังนั้น $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ จึงหมายถึง “รวมค่าของ $f$ บนชิ้นส่วนปริมาตรเล็ก ๆ ทั้งหมดใน $E$”

ความหมายนี้จะเปลี่ยนไปตามฟังก์ชันที่อินทิเกรต:

• ถ้า $f(x,y,z)=1$ ผลลัพธ์คือปริมาตร
• ถ้า $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ เป็นความหนาแน่น ผลลัพธ์คือมวล
• ถ้า $f$ เป็นอุณหภูมิ ความหนาแน่นประจุ หรือปริมาณกระจายตัวชนิดอื่น ผลลัพธ์คือปริมาณรวมทั้งหมดของสิ่งนั้นในของแข็ง

ผลลัพธ์ไม่ได้เป็นปริมาตรโดยอัตโนมัติ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันที่อินทิเกรตแทนอะไร

วิธีเขียนปริพันธ์สามชั้นให้อยู่ในรูปปริพันธ์ซ้อน

โจทย์ส่วนใหญ่ในรายวิชาจะคำนวณทีละตัวแปร ภายใต้เงื่อนไขปกติที่ใช้ในแคลคูลัส เราจะเขียนปริพันธ์สามชั้นใหม่ให้อยู่ในรูปปริพันธ์ซ้อน เช่น

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

ขอบเขตที่แน่นอนขึ้นอยู่กับบริเวณ แนวคิดหลักนั้นง่ายมาก: ขีดจำกัดชั้นในอธิบายหน้าตัดชั้นในสุด ขีดจำกัดถัดไปอธิบายการซ้อนของหน้าตัดเหล่านั้น และขีดจำกัดชั้นนอกอธิบายการกวาดผ่านของแข็งทั้งหมด

หลายครั้งคุณสามารถเปลี่ยนลำดับการอินทิเกรตได้ แต่ขอบเขตก็ต้องเปลี่ยนตามด้วย นี่คือจุดที่มักเกิดความผิดพลาดในการตั้งปัญหา

ระบบพิกัดแบบใดทำให้ตั้งปัญหาได้ง่ายกว่า

พิกัดคาร์ทีเซียน

ใช้พิกัดคาร์ทีเซียนเมื่อของแข็งอธิบายได้อย่างเป็นธรรมชาติด้วยระนาบหรือขอบเขตแบบสี่เหลี่ยม เช่น กล่อง หรือบริเวณง่าย ๆ ที่ถูกตัดด้วยกราฟอย่าง $z = x+y$

จากนั้น

$$dV = dx\,dy\,dz$$

โดยเรียงตามลำดับที่คุณเลือก

พิกัดทรงกระบอก

ใช้พิกัดทรงกระบอกสำหรับบริเวณที่มีสมมาตรเชิงวงกลมรอบแกน เช่น ทรงกระบอกหรือกรวย โดยมี

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

หน่วยปริมาตรจะกลายเป็น

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

ตัวประกอบเพิ่ม $r$ นี้ห้ามลืมเด็ดขาด มันเกิดจากการเปลี่ยนพิกัด

พิกัดทรงกลม

ใช้พิกัดทรงกลมเมื่อทรงกลมหรือสมมาตรแบบทรงกลมทำให้บริเวณอธิบายได้ง่ายขึ้น รูปแบบที่ใช้กันบ่อยแบบหนึ่งคือ

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

โดยมีหน่วยปริมาตร

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

ข้อตกลงเรื่องมุมอาจต่างกันไปตามรายวิชา จึงควรตรวจสอบว่าชั้นเรียนของคุณใช้แบบใด

ตัวอย่างทำโจทย์: มวลบนลูกบาศก์หนึ่งหน่วย

หามวลของลูกบาศก์หนึ่งหน่วย

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

ถ้าความหนาแน่นเป็น

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

เนื่องจากบริเวณเป็นกล่อง พิกัดคาร์ทีเซียนจึงเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

อินทิเกรตตาม $z$ ก่อน:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

ดังนั้นปริพันธ์จะกลายเป็น

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

ตอนนี้อินทิเกรตตาม $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

จากนั้นอินทิเกรตตาม $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

ดังนั้นมวลคือ

$$M=\frac{5}{2}.$$

ตัวอย่างนี้แสดงความแตกต่างระหว่างปริมาตรกับมวลได้ชัดเจน ถ้าความหนาแน่นเป็น $1$ ทุกจุด บริเวณเดียวกันนี้จะมีปริมาตรเท่ากับ $1$ แต่เพราะความหนาแน่นมากกว่า $1$ ในพื้นที่ส่วนใหญ่ของลูกบาศก์ มวลจึงออกมามากกว่า

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับปริพันธ์สามชั้น

1. ใช้ขอบเขตที่ไม่ได้อธิบายของแข็งจริง
2. ลืมว่าลำดับการอินทิเกรตเป็นตัวกำหนดว่าขีดจำกัดใดจะขึ้นกับตัวแปรใดได้บ้าง
3. ปฏิบัติต่อตัวแปรชั้นนอกเหมือนเป็นตัวแปรที่เปลี่ยนค่าในขั้นชั้นใน แทนที่จะตรึงไว้เป็นค่าคงที่
4. ลืมตัวประกอบจาโคเบียนในพิกัดทรงกระบอกหรือพิกัดทรงกลม
5. เรียกคำตอบว่า “ปริมาตร” ทั้งที่ฟังก์ชันที่อินทิเกรตไม่ใช่ $1$

ปริพันธ์สามชั้นถูกใช้เมื่อใด

ปริพันธ์สามชั้นปรากฏเมื่อปริมาณหนึ่งกระจายอยู่ทั่วปริมาตร ไม่ได้อยู่ตามเส้นหรือบนผิว

• ในเรขาคณิต ใช้หาปริมาตร
• ในฟิสิกส์และวิศวกรรม ใช้หามวลเมื่อความหนาแน่นเปลี่ยนไปภายในของแข็ง
• ในแม่เหล็กไฟฟ้าและแบบจำลองของไหล ใช้รวมประจุ พลังงาน หรือปริมาณอื่น ๆ บนบริเวณสามมิติ
• ในความน่าจะเป็น สามารถใช้หาปริพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นบนโดเมนสามมิติ เมื่อมีตัวแปรต่อเนื่องสามตัว

การตั้งปัญหาขึ้นอยู่กับบริเวณ ส่วนการตีความขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่อินทิเกรต

เช็กสั้น ๆ ก่อนเริ่มอินทิเกรต

ก่อนลงมือคำนวณ ให้ถามตัวเองว่า:

1. ฟังก์ชันที่อินทิเกรตในที่นี้แทนอะไร: ความหนาแน่นของปริมาตร ความหนาแน่นมวล หรืออย่างอื่น?
2. ของแข็งที่ฉันกำลังอินทิเกรตครอบคลุมบริเวณใดกันแน่?
3. ระบบพิกัดแบบอื่นจะทำให้ขอบเขตง่ายขึ้นหรือไม่?

การตรวจสอบสามข้อนี้มักช่วยจับข้อผิดพลาดได้มากกว่าการใช้เทคนิคเชิงสัญลักษณ์เสียอีก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองเปลี่ยนเป็นโจทย์ของคุณเองโดยใช้ $\rho(x,y,z)=2+x$ บนลูกบาศก์หนึ่งหน่วยเดิม แล้วคำนวณมวล จากนั้นลองพิจารณาบริเวณทรงกระบอกและตัดสินใจว่าพิกัดทรงกระบอกทำให้ขอบเขตง่ายขึ้นหรือไม่ก่อนเริ่มอินทิเกรต