삼중적분 — 부피, 질량과 계산 방법

삼중적분은 3차원 영역 위에서 함수를 더하는 적분입니다. 학생들이 처음 접하는 대표적인 용도는 피적분함수가 $1$일 때의 부피, 그리고 피적분함수가 밀도 함수일 때의 질량입니다.

보통 다음과 같이 씁니다.

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

여기서 $E$는 입체 영역이고 $dV$는 아주 작은 부피 요소입니다. 삼중적분을 계산할 때는 보통 이 적분을 영역에 맞는 적분구간을 가진 반복적분으로 바꿉니다.

삼중적분의 의미

읽어야 할 요소는 세 가지입니다.

• $f(x,y,z)$는 더하려는 양입니다.
• $E$는 그 양을 더하는 입체 영역입니다.
• $dV$는 아주 작은 부피 조각을 뜻합니다.

따라서 $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$는 “$E$ 안의 모든 작은 부피 조각에 대해 $f$의 값을 더하라”는 뜻입니다.

이 해석은 피적분함수에 따라 달라집니다.

• $f(x,y,z)=1$이면 결과는 부피입니다.
• $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$가 밀도이면 결과는 질량입니다.
• $f$가 온도, 전하밀도, 또는 다른 분포된 양이면 결과는 그 양의 전체합입니다.

결과가 자동으로 부피가 되는 것은 아닙니다. 그것은 피적분함수가 무엇을 나타내는지에 달려 있습니다.

삼중적분을 반복적분으로 쓰는 방법

대부분의 수업 문제는 한 번에 한 변수씩 계산합니다. 미적분학에서 보통 가정하는 조건 아래에서는 삼중적분을 다음과 같은 반복적분으로 바꿉니다.

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

정확한 적분구간은 영역에 따라 달라집니다. 핵심 아이디어는 단순합니다. 가장 안쪽의 구간은 가장 안쪽 단면을 설명하고, 그다음 구간은 그런 단면들의 쌓임을 설명하며, 가장 바깥 구간은 입체 전체를 훑는 범위를 설명합니다.

적분 순서는 자주 바꿀 수 있지만, 그에 따라 적분구간도 함께 바뀌어야 합니다. 많은 설정 실수가 바로 여기서 생깁니다.

어떤 좌표계가 설정을 더 쉽게 만드는가

직교좌표계

상자 모양 영역이나 $z = x+y$ 같은 그래프로 잘린 단순한 영역처럼, 평면이나 직사각형 형태의 경계로 자연스럽게 표현되는 입체에는 직교좌표계를 사용합니다.

이때

$$dV = dx\,dy\,dz$$

이며, 순서는 선택한 적분 순서에 따라 달라질 수 있습니다.

원통좌표

축을 중심으로 원형 대칭이 있는 영역, 예를 들어 원기둥이나 원뿔에는 원통좌표를 사용합니다. 다음과 같이 두면

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

부피 요소는

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

여기서 추가되는 $r$ 인자는 선택 사항이 아닙니다. 이것은 좌표변환에서 생깁니다.

구면좌표

구 또는 구대칭 때문에 영역을 더 쉽게 표현할 수 있을 때는 구면좌표를 사용합니다. 자주 쓰는 한 가지 약속은

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

이고, 부피 요소는

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

각도의 정의는 수업마다 다를 수 있으므로, 수업에서 어떤 약속을 쓰는지 확인하는 것이 좋습니다.

예제: 단위 정육면체에서의 질량

단위 정육면체

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

의 질량을 구해 봅시다. 밀도는

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

영역이 상자 모양이므로 직교좌표계가 가장 자연스럽습니다.

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

먼저 $z$에 대해 적분합니다.

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

그러면 적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

이제 $y$에 대해 적분합니다.

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

그다음 $x$에 대해 적분합니다.

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

따라서 질량은

$$M=\frac{5}{2}.$$

이 예제는 부피와 질량의 차이를 분명하게 보여 줍니다. 만약 밀도가 모든 곳에서 $1$이었다면 같은 영역의 부피는 $1$입니다. 하지만 정육면체의 많은 부분에서 밀도가 $1$보다 크므로 질량은 더 크게 나옵니다.

삼중적분에서 자주 하는 실수

1. 실제 입체를 제대로 나타내지 못하는 적분구간을 쓰는 것.
2. 적분 순서에 따라 어떤 구간이 어떤 변수에 의존할 수 있는지가 결정된다는 점을 놓치는 것.
3. 안쪽 적분을 할 때 바깥 변수들을 상수로 두지 않고 함께 변하는 것처럼 다루는 것.
4. 원통좌표나 구면좌표에서 야코비안 인자를 빠뜨리는 것.
5. 피적분함수가 $1$이 아닌데도 답을 “부피”라고 부르는 것.

삼중적분은 언제 쓰이나

삼중적분은 어떤 양이 선을 따라 분포하거나 곡면 위에 분포하는 것이 아니라, 부피 전체에 걸쳐 분포할 때 등장합니다.

• 기하학에서는 부피를 구합니다.
• 물리와 공학에서는 밀도가 입체 내부에서 변할 때 질량을 구합니다.
• 전자기학과 유체 모형에서는 3차원 영역 전체에 걸친 전하, 에너지, 또는 다른 양을 더합니다.
• 확률에서는 연속변수 세 개가 관련된 3차원 영역에서 밀도 함수를 적분할 수 있습니다.

적분의 설정은 영역에 따라 달라집니다. 해석은 피적분함수에 따라 달라집니다.

적분하기 전에 빠르게 점검하기

계산을 시작하기 전에 다음을 물어보세요.

1. 여기서 피적분함수는 무엇을 나타내는가? 부피밀도인가, 질량밀도인가, 아니면 다른 것인가?
2. 내가 정확히 어떤 입체 영역 위에서 적분하고 있는가?
3. 다른 좌표계를 쓰면 적분구간이 더 단순해지는가?

이 세 가지 점검만으로도 많은 기호 조작보다 더 많은 실수를 막을 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보기

같은 단위 정육면체에서 $\rho(x,y,z)=2+x$인 경우를 직접 풀어 질량을 구해 보세요. 그다음 원기둥 영역도 생각해 보고, 적분을 시작하기 전에 원통좌표가 적분구간을 더 단순하게 만드는지 판단해 보세요.