Tích phân kép

Tích phân kép cộng một hàm trên một miền hai chiều. Nếu $f(x,y) \ge 0$, nó cho thể tích dưới mặt $z=f(x,y)$ phía trên miền đó. Nếu $f$ đổi dấu, thay vào đó nó cho thể tích đại số thuần.

Bạn thường viết nó dưới dạng

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

trong đó $R$ là miền trên mặt phẳng $xy$ và $dA$ là một phần tử diện tích rất nhỏ. Trong thực tế, phần lớn các bài tích phân kép ban đầu xoay quanh hai việc: đọc đúng miền và chọn cận thật sự khớp với miền đó.

Tích phân kép có ý nghĩa gì

Có ba phần cần đọc:

• $f(x,y)$ là hàm đang được cộng dồn.
• $R$ là miền mà bạn cộng dồn trên đó.
• $dA$ nghĩa là một mảnh diện tích rất nhỏ.

Vì vậy, $\iint_R f(x,y)\,dA$ có nghĩa là “cộng các giá trị của $f$ trên mọi mảnh diện tích rất nhỏ trong $R$.” Nếu $f(x,y)=1$, kết quả đơn giản chính là diện tích của $R$. Đây là một cách kiểm tra hữu ích vì nó cho thấy tích phân kép đo sự tích lũy trên diện tích, không chỉ là thể tích dưới các mặt cong.

Vì sao tích phân kép thường trở thành tích phân lặp

Trong nhiều bài toán giải tích, bạn tính tích phân kép bằng cách biến nó thành hai tích phân đơn. Trên một hình chữ nhật, và tổng quát hơn dưới các điều kiện chuẩn như tính liên tục trên miền, bạn có thể lấy tích phân từng biến một.

Với hình chữ nhật $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

hoặc, nếu đơn giản hơn,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

Thứ tự có ý nghĩa đối với cách thiết lập và mức độ thuận tiện. Trong các điều kiện thông thường của môn học, cả hai tích phân lặp đều biểu diễn cùng một đại lượng, nhưng một thứ tự thường dễ tính hơn nhiều.

Với tích phân đơn, bạn có thể hình dung việc chia một khoảng thành những đoạn rất nhỏ có độ rộng $dx$. Với tích phân kép, bạn chia một miền thành những hình chữ nhật rất nhỏ có diện tích $dA$.

Mỗi hình chữ nhật nhỏ đóng góp xấp xỉ

$$f(x,y)\,dA.$$

Cộng các phần đóng góp đó trên toàn bộ miền sẽ cho tổng lượng tích lũy.

Ví dụ về tích phân kép trên hình chữ nhật

Tính

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

với

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Miền này là một hình chữ nhật, nên viết thành tích phân lặp là trực tiếp:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Lấy tích phân theo $y$ trước. Khi làm bước này, xem $x$ là hằng số:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Bây giờ lấy tích phân biểu thức ngoài theo $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Vậy

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

Kết quả này hợp lý vì $x+2y$ dương ở mọi điểm trên $R$, nên tổng lượng tích lũy cũng phải dương.

Điều gì thay đổi khi miền không phải hình chữ nhật

Nếu miền không phải là hình chữ nhật, các cận thường phụ thuộc vào biến còn lại. Ví dụ, bạn có thể gặp một miền được mô tả bởi các đường cong như

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Khi đó, các cận trong không còn là hằng số nữa. Chúng thay đổi theo $x$.

Đó là lý do việc phác họa miền rất quan trọng. Trong nhiều bài làm của sinh viên, phần đại số đúng nhưng miền lại sai.

Những lỗi thường gặp với tích phân kép

1. Dùng các cận không khớp với miền cần xét.
2. Quên biến nào được lấy tích phân trước. Trong $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$, tích phân trong là theo $y$.
3. Xem cả hai biến đều cùng hoạt động trong bước tích phân trong. Ở đó, biến ngoài phải được xem là hằng số.
4. Cho rằng kết quả là thể tích hình học ngay cả khi hàm nhận giá trị âm. Trong trường hợp đó, tích phân kép cho thể tích đại số.
5. Đổi thứ tự tích phân nhưng không đổi cận cho đúng.

Tích phân kép được dùng ở đâu

Tích phân kép xuất hiện bất cứ khi nào một đại lượng được phân bố trên một diện tích thay vì dọc theo một đường.

• Trong hình học, chúng cho diện tích hoặc thể tích dưới một mặt.
• Trong vật lý, chúng có thể cộng khối lượng trên một bản mỏng khi khối lượng riêng phụ thuộc vào vị trí.
• Trong xác suất, chúng xuất hiện trong các phân phối đồng thời liên tục của hai biến.
• Trong kỹ thuật, chúng được dùng khi một đại lượng thay đổi trên một bề mặt hoặc một tiết diện.

Cách diễn giải phụ thuộc vào hàm. Nếu hàm dưới dấu tích phân là khối lượng riêng, kết quả là khối lượng. Nếu nó là độ cao, kết quả là thể tích đại số.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự thử bằng cách đổi ví dụ thành

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

trên cùng hình chữ nhật $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Sau đó đảo thứ tự tích phân và kiểm tra xem giá trị có giữ nguyên không. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử một bài tương tự trên miền tam giác để các cận phụ thuộc vào biến còn lại.