Całki potrójne — objętość, masa i metody obliczania

Całki potrójne sumują wartości funkcji na trójwymiarowym obszarze. Najczęściej na początku spotyka się ich dwa zastosowania: objętość, gdy funkcja podcałkowa jest równa $1$, oraz masę, gdy funkcja podcałkowa opisuje gęstość.

Zwykle zapisuje się je jako

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

gdzie $E$ jest bryłą, a $dV$ oznacza bardzo mały element objętości. Aby obliczyć całkę potrójną, najczęściej przepisuje się ją jako całkę iterowaną z granicami dopasowanymi do danej bryły.

Co oznacza całka potrójna

W tym zapisie są trzy elementy:

• $f(x,y,z)$ to wielkość, którą sumujemy.
• $E$ to obszar bryłowy, na którym wykonujemy sumowanie.
• $dV$ oznacza mały element objętości.

Zatem $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ znaczy: „zsumuj wartości $f$ po wszystkich małych elementach objętości w obszarze $E$”.

Ta interpretacja zmienia się zależnie od funkcji podcałkowej:

• Jeśli $f(x,y,z)=1$, wynikiem jest objętość.
• Jeśli $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ jest gęstością, wynikiem jest masa.
• Jeśli $f$ oznacza temperaturę, gęstość ładunku lub inną wielkość rozłożoną w przestrzeni, wynikiem jest całkowita ilość tej wielkości w danej bryle.

Wynik nie jest automatycznie objętością. To zależy od tego, co reprezentuje funkcja podcałkowa.

Jak zapisać całkę potrójną jako całkę iterowaną

Większość zadań na kursach oblicza się po jednej zmiennej naraz. Przy typowych założeniach używanych w analizie matematycznej przepisujesz całkę potrójną jako całkę iterowaną, na przykład

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Dokładne granice zależą od obszaru. Główna idea jest prosta: granice wewnętrzne opisują najbardziej wewnętrzny przekrój, kolejne granice opisują stos takich przekrojów, a granice zewnętrzne opisują pełne przejście przez całą bryłę.

Często można zmienić kolejność całkowania, ale wtedy granice też muszą się zmienić. Właśnie tutaj pojawia się wiele błędów przy układaniu całki.

Który układ współrzędnych ułatwia zapis

Współrzędne kartezjańskie

Używaj współrzędnych kartezjańskich, gdy bryłę naturalnie opisują płaszczyzny lub prostokątne granice, na przykład dla prostopadłościanów i prostych obszarów ograniczonych wykresami takimi jak $z = x+y$.

Wtedy

$$dV = dx\,dy\,dz$$

z dokładnością do wybranej kolejności.

Współrzędne walcowe

Używaj współrzędnych walcowych dla obszarów o symetrii kołowej wokół osi, takich jak walce lub stożki. Dla

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

element objętości ma postać

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Dodatkowy czynnik $r$ nie jest opcjonalny. Wynika on ze zmiany współrzędnych.

Współrzędne sferyczne

Używaj współrzędnych sferycznych, gdy kule lub symetria sferyczna ułatwiają opis obszaru. Jedna z często stosowanych konwencji to

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

z elementem objętości

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Konwencje dotyczące kątów mogą się różnić w zależności od kursu, więc warto sprawdzić, której używa się na zajęciach.

Przykład obliczeniowy: masa na sześcianie jednostkowym

Wyznacz masę sześcianu jednostkowego

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

jeśli gęstość ma postać

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Ponieważ obszar jest prostopadłościanem, naturalnym wyborem są współrzędne kartezjańskie:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Najpierw całkujemy względem $z$:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Zatem całka przyjmuje postać

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Teraz całkujemy względem $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Na końcu całkujemy względem $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Zatem masa wynosi

$$M=\frac{5}{2}.$$

Ten przykład dobrze pokazuje różnicę między objętością a masą. Gdyby gęstość była wszędzie równa $1$, ten sam obszar miałby objętość $1$. Ponieważ gęstość na dużej części sześcianu jest większa niż $1$, masa wychodzi większa.

Typowe błędy przy całkach potrójnych

1. Używanie granic, które w rzeczywistości nie opisują danej bryły.
2. Zapominanie, że kolejność całkowania decyduje o tym, od których zmiennych mogą zależeć granice.
3. Traktowanie zmiennych zewnętrznych jako aktywnych podczas całkowania wewnętrznego zamiast uznawania ich za stałe.
4. Pomijanie czynnika Jacobiego we współrzędnych walcowych lub sferycznych.
5. Nazywanie wyniku „objętością”, gdy funkcja podcałkowa nie jest równa $1$.

Kiedy stosuje się całki potrójne

Całki potrójne pojawiają się wtedy, gdy dana wielkość jest rozłożona w objętości, a nie wzdłuż linii ani na powierzchni.

• W geometrii dają objętość.
• W fizyce i inżynierii dają masę, gdy gęstość zmienia się w bryle.
• W elektromagnetyzmie i modelach płynów sumują ładunek, energię lub inne wielkości na obszarze 3D.
• W rachunku prawdopodobieństwa mogą całkować gęstość na obszarze trójwymiarowym, gdy występują trzy zmienne ciągłe.

Sposób zapisu zależy od obszaru. Interpretacja zależy od funkcji podcałkowej.

Szybka kontrola przed całkowaniem

Zanim zaczniesz rachunki, zapytaj:

1. Co reprezentuje tutaj funkcja podcałkowa: gęstość objętości, gęstość masy czy coś innego?
2. Po jakiej dokładnie bryle całkuję?
3. Czy inny układ współrzędnych uprościłby granice?

Te trzy pytania zwykle wychwytują więcej błędów niż jakakolwiek sztuczka algebraiczna.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z $\rho(x,y,z)=2+x$ na tym samym sześcianie jednostkowym i oblicz masę. Następnie przeanalizuj walec i zdecyduj, czy współrzędne walcowe upraszczają granice, zanim zaczniesz całkować.