Integrais Triplas — Volume, Massa e Métodos de Cálculo

Integrais triplas somam uma função sobre uma região tridimensional. Os primeiros usos que os estudantes costumam ver são volume, quando o integrando é $1$, e massa, quando o integrando é uma função densidade.

Geralmente, ela é escrita como

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

em que $E$ é o sólido e $dV$ é um pequeno elemento de volume. Para calcular uma integral tripla, normalmente você a reescreve como uma integral iterada com limites que correspondem ao sólido.

O que significa uma integral tripla

Há três partes para interpretar:

• $f(x,y,z)$ é a quantidade que está sendo somada.
• $E$ é a região sólida onde você faz essa soma.
• $dV$ significa um pequeno pedaço de volume.

Assim, $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ significa “somar os valores de $f$ sobre todos os pequenos elementos de volume em $E$”.

Essa interpretação muda conforme o integrando:

• Se $f(x,y,z)=1$, o resultado é o volume.
• Se $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ for a densidade, o resultado é a massa.
• Se $f$ for temperatura, densidade de carga ou outra quantidade distribuída, o resultado é a quantidade total dessa grandeza sobre o sólido.

O resultado não é automaticamente um volume. Isso depende do que o integrando representa.

Como escrever uma integral tripla como uma integral iterada

A maioria dos problemas de curso é calculada uma variável de cada vez. Nas condições usuais do cálculo, você reescreve a integral tripla como uma integral iterada, por exemplo

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Os limites exatos dependem da região. A ideia principal é simples: os limites internos descrevem a fatia mais interna, os limites seguintes descrevem a pilha dessas fatias, e os limites externos descrevem toda a varredura pelo sólido.

Muitas vezes, você pode mudar a ordem de integração, mas os limites também precisam mudar com ela. É aí que acontecem muitos erros de montagem.

Qual sistema de coordenadas facilita a montagem

Coordenadas cartesianas

Use coordenadas cartesianas quando o sólido for naturalmente descrito por planos ou por limites retangulares, como caixas e regiões simples cortadas por gráficos como $z = x+y$.

Então,

$$dV = dx\,dy\,dz$$

até a ordem que você escolher.

Coordenadas cilíndricas

Use coordenadas cilíndricas para regiões com simetria circular em torno de um eixo, como cilindros ou cones. Com

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

o elemento de volume se torna

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

O fator extra $r$ não é opcional. Ele vem da mudança de coordenadas.

Coordenadas esféricas

Use coordenadas esféricas quando esferas ou simetria esférica tornarem a região mais fácil de descrever. Uma convenção comum é

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

com elemento de volume

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

As convenções para os ângulos podem variar de um curso para outro, então vale a pena conferir qual delas sua turma usa.

Exemplo resolvido: massa no cubo unitário

Encontre a massa do cubo unitário

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

se a densidade for

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Como a região é uma caixa, coordenadas cartesianas são a escolha natural:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Integre em relação a $z$ primeiro:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Então a integral fica

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Agora integre em relação a $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Depois integre em relação a $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Logo, a massa é

$$M=\frac{5}{2}.$$

Este exemplo mostra claramente a diferença entre volume e massa. Se a densidade fosse $1$ em toda parte, a mesma região teria volume $1$. Como a densidade é maior que $1$ em boa parte do cubo, a massa resulta maior.

Erros comuns com integrais triplas

1. Usar limites que não descrevem de fato o sólido.
2. Esquecer que a ordem de integração determina de quais variáveis cada limite pode depender.
3. Tratar as variáveis externas como ativas durante a etapa interna, em vez de mantê-las constantes.
4. Omitir o fator jacobiano em coordenadas cilíndricas ou esféricas.
5. Chamar a resposta de “volume” quando o integrando não é $1$.

Quando integrais triplas são usadas

Integrais triplas aparecem quando uma quantidade está distribuída por um volume, e não ao longo de uma linha ou sobre uma superfície.

• Em geometria, elas fornecem volume.
• Em física e engenharia, elas fornecem massa quando a densidade varia ao longo de um sólido.
• Em eletromagnetismo e modelos de fluidos, elas somam carga, energia ou outras quantidades sobre uma região 3D.
• Em probabilidade, elas podem integrar uma densidade sobre um domínio 3D quando três variáveis contínuas estão envolvidas.

A montagem depende da região. A interpretação depende do integrando.

Verificação rápida antes de integrar

Antes de fazer a álgebra, pergunte:

1. O que o integrando representa aqui: densidade de volume, densidade de massa ou outra coisa?
2. Sobre qual sólido estou integrando, exatamente?
3. Um sistema de coordenadas diferente deixaria os limites mais simples?

Essas três verificações costumam evitar mais erros do que qualquer truque simbólico.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com $\rho(x,y,z)=2+x$ no mesmo cubo unitário e calcule a massa. Depois explore um cilindro e decida se coordenadas cilíndricas tornam os limites mais simples antes de começar a integrar.