Integrali tripli — volume, massa e metodi di calcolo

Gli integrali tripli sommano una funzione su una regione tridimensionale. I primi usi che gli studenti incontrano di solito sono il volume, quando l'integranda è $1$, e la massa, quando l'integranda è una funzione di densità.

Di solito si scrivono come

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

dove $E$ è il solido e $dV$ è un piccolo elemento di volume. Per calcolare un integrale triplo, di solito lo si riscrive come un integrale iterato con limiti che corrispondono al solido.

Che cosa significa un integrale triplo

Ci sono tre elementi da leggere:

• $f(x,y,z)$ è la quantità che si sta sommando.
• $E$ è la regione solida su cui la si somma.
• $dV$ indica un piccolo pezzo di volume.

Quindi $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ significa "somma i valori di $f$ su tutti i piccoli elementi di volume in $E$."

Questa interpretazione cambia a seconda dell'integranda:

• Se $f(x,y,z)=1$, il risultato è un volume.
• Se $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ è una densità, il risultato è una massa.
• Se $f$ è la temperatura, la densità di carica o un'altra quantità distribuita, il risultato è la quantità totale di quella grandezza sul solido.

Il risultato non è automaticamente un volume. Dipende da ciò che rappresenta l'integranda.

Come scrivere un integrale triplo come integrale iterato

La maggior parte degli esercizi dei corsi si calcola una variabile alla volta. Nelle condizioni usuali del calcolo, riscrivi l'integrale triplo come un integrale iterato del tipo

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

I limiti esatti dipendono dalla regione. L'idea principale è semplice: i limiti interni descrivono la sezione più interna, i limiti successivi descrivono la pila di quelle sezioni e i limiti esterni descrivono l'intero attraversamento del solido.

Spesso puoi cambiare l'ordine di integrazione, ma i limiti devono cambiare di conseguenza. È qui che si verificano molti errori di impostazione.

Quale sistema di coordinate rende più semplice l'impostazione

Coordinate cartesiane

Usa le coordinate cartesiane quando il solido è descritto naturalmente da piani o da limiti rettangolari, come parallelepipedi e regioni semplici tagliate da grafici come $z = x+y$.

Allora

$$dV = dx\,dy\,dz$$

a seconda dell'ordine che scegli.

Coordinate cilindriche

Usa le coordinate cilindriche per regioni con simmetria circolare attorno a un asse, come cilindri o coni. Con

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

l'elemento di volume diventa

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Il fattore aggiuntivo $r$ non è facoltativo. Deriva dal cambiamento di coordinate.

Coordinate sferiche

Usa le coordinate sferiche quando sfere o simmetria sferica rendono la regione più facile da descrivere. Una convenzione comune è

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

con elemento di volume

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Le convenzioni sugli angoli possono variare da un corso all'altro, quindi vale la pena controllare quale usa la tua classe.

Esempio svolto: massa sul cubo unitario

Trova la massa del cubo unitario

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

se la densità è

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Poiché la regione è un parallelepipedo, le coordinate cartesiane sono la scelta naturale:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Integra prima rispetto a $z$:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Quindi l'integrale diventa

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Ora integra rispetto a $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Poi integra rispetto a $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Quindi la massa è

$$M=\frac{5}{2}.$$

Questo esempio mostra chiaramente la differenza tra volume e massa. Se la densità fosse stata $1$ ovunque, la stessa regione avrebbe volume $1$. Poiché la densità è maggiore di $1$ in gran parte del cubo, la massa risulta maggiore.

Errori comuni con gli integrali tripli

1. Usare limiti che in realtà non descrivono il solido.
2. Dimenticare che l'ordine di integrazione determina da quali variabili possono dipendere i limiti.
3. Trattare le variabili esterne come attive durante il passaggio interno invece di considerarle costanti.
4. Dimenticare il fattore jacobiano nelle coordinate cilindriche o sferiche.
5. Chiamare la risposta "volume" quando l'integranda non è $1$.

Quando si usano gli integrali tripli

Gli integrali tripli compaiono quando una quantità è distribuita in un volume invece che lungo una linea o su una superficie.

• In geometria, danno il volume.
• In fisica e ingegneria, danno la massa quando la densità varia all'interno di un solido.
• Nell'elettromagnetismo e nei modelli di fluidi, sommano carica, energia o altre quantità su una regione 3D.
• In probabilità, possono integrare una densità su un dominio 3D quando sono coinvolte tre variabili continue.

L'impostazione dipende dalla regione. L'interpretazione dipende dall'integranda.

Controllo rapido prima di integrare

Prima di fare i calcoli algebrici, chiediti:

1. Che cosa rappresenta qui l'integranda: densità di volume, densità di massa o qualcos'altro?
2. Su quale solido sto integrando, esattamente?
3. Un sistema di coordinate diverso renderebbe i limiti più semplici?

Questi tre controlli intercettano di solito più errori di qualsiasi trucco simbolico.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con $\rho(x,y,z)=2+x$ sullo stesso cubo unitario e calcola la massa. Poi considera un cilindro e decidi se le coordinate cilindriche rendono i limiti più semplici prima di iniziare a integrare.