Intégrales triples — volume, masse et méthodes de calcul

Les intégrales triples additionnent une fonction sur une région tridimensionnelle. Les premiers usages que les étudiants rencontrent sont le volume, lorsque l’intégrande vaut $1$, et la masse, lorsque l’intégrande est une fonction de densité.

On l’écrit généralement sous la forme

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

où $E$ est le solide et $dV$ est un petit élément de volume. Pour calculer une intégrale triple, on la réécrit le plus souvent comme une intégrale itérée avec des bornes adaptées au solide.

Ce que signifie une intégrale triple

Il y a trois éléments à lire :

• $f(x,y,z)$ est la quantité que l’on additionne.
• $E$ est la région solide sur laquelle on l’additionne.
• $dV$ désigne un petit morceau de volume.

Ainsi, $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ signifie : « additionner les valeurs de $f$ sur tous les petits éléments de volume de $E$ ».

Cette interprétation change selon l’intégrande :

• Si $f(x,y,z)=1$, le résultat est un volume.
• Si $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ est une densité, le résultat est une masse.
• Si $f$ est une température, une densité de charge ou une autre grandeur répartie, le résultat est la quantité totale de cette grandeur sur le solide.

Le résultat n’est donc pas automatiquement un volume. Cela dépend de ce que représente l’intégrande.

Comment écrire une intégrale triple comme une intégrale itérée

Dans la plupart des exercices de cours, on calcule une variable à la fois. Sous les conditions usuelles du calcul différentiel et intégral, on réécrit l’intégrale triple comme une intégrale itérée telle que

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Les bornes exactes dépendent de la région. L’idée principale est simple : les bornes intérieures décrivent la tranche la plus interne, les bornes suivantes décrivent l’empilement de ces tranches, et les bornes extérieures décrivent le balayage complet du solide.

On peut souvent changer l’ordre d’intégration, mais les bornes doivent alors changer aussi. C’est là que se produisent beaucoup d’erreurs de mise en place.

Quel système de coordonnées simplifie l’écriture

Coordonnées cartésiennes

Utilisez les coordonnées cartésiennes lorsque le solide se décrit naturellement par des plans ou des bornes rectangulaires, comme des pavés ou des régions simples découpées par des graphes tels que $z = x+y$.

Alors

$$dV = dx\,dy\,dz$$

à l’ordre près que vous choisissez.

Coordonnées cylindriques

Utilisez les coordonnées cylindriques pour les régions ayant une symétrie circulaire autour d’un axe, comme les cylindres ou les cônes. Avec

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

l’élément de volume devient

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Le facteur supplémentaire $r$ n’est pas facultatif. Il vient du changement de coordonnées.

Coordonnées sphériques

Utilisez les coordonnées sphériques lorsque des sphères ou une symétrie sphérique rendent la région plus facile à décrire. Une convention courante est

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

avec l’élément de volume

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Les conventions sur les angles peuvent varier selon les cours, donc il vaut mieux vérifier celle utilisée dans votre classe.

Exemple traité : masse sur le cube unité

Trouver la masse du cube unité

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

si la densité est

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Comme la région est un pavé, les coordonnées cartésiennes sont le choix naturel :

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Intégrons d’abord par rapport à $z$ :

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

L’intégrale devient donc

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Intégrons maintenant par rapport à $y$ :

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Puis intégrons par rapport à $x$ :

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

La masse vaut donc

$$M=\frac{5}{2}.$$

Cet exemple montre clairement la différence entre volume et masse. Si la densité avait été égale à $1$ partout, la même région aurait eu pour volume $1$. Comme la densité est supérieure à $1$ sur une grande partie du cube, la masse obtenue est plus grande.

Erreurs fréquentes avec les intégrales triples

1. Utiliser des bornes qui ne décrivent pas réellement le solide.
2. Oublier que l’ordre d’intégration détermine de quelles variables les bornes peuvent dépendre.
3. Traiter les variables extérieures comme actives pendant l’étape intérieure au lieu de les considérer comme constantes.
4. Oublier le facteur jacobien en coordonnées cylindriques ou sphériques.
5. Appeler la réponse « volume » lorsque l’intégrande n’est pas $1$.

Quand utilise-t-on les intégrales triples ?

Les intégrales triples apparaissent lorsqu’une quantité est répartie dans un volume plutôt que le long d’une ligne ou sur une surface.

• En géométrie, elles donnent le volume.
• En physique et en ingénierie, elles donnent la masse lorsque la densité varie dans un solide.
• En électromagnétisme et dans les modèles de fluides, elles additionnent la charge, l’énergie ou d’autres quantités sur une région 3D.
• En probabilités, elles peuvent intégrer une densité sur un domaine 3D lorsque trois variables continues interviennent.

La mise en place dépend de la région. L’interprétation dépend de l’intégrande.

Vérification rapide avant de calculer

Avant de faire les calculs, posez-vous les questions suivantes :

1. Que représente ici l’intégrande : une densité de volume, une densité de masse, ou autre chose ?
2. Sur quel solide est-ce que j’intègre exactement ?
3. Un autre système de coordonnées rendrait-il les bornes plus simples ?

Ces trois vérifications permettent généralement d’éviter plus d’erreurs que n’importe quelle astuce symbolique.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec $\rho(x,y,z)=2+x$ sur le même cube unité et calculez la masse. Puis étudiez un cylindre et décidez si les coordonnées cylindriques rendent les bornes plus simples avant de commencer à intégrer.