三重积分——体积、质量与计算方法

三重积分是在三维区域上对一个函数进行累加。学生最先接触到的主要用途通常是求体积，此时被积函数为 $1$；以及求质量，此时被积函数是密度函数。

它通常写成

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

其中 $E$ 是立体区域，$dV$ 是一个极小的体积元。要计算三重积分，通常需要把它改写成与该立体区域相匹配、带有积分限的累次积分。

三重积分的含义

读这个表达式时，可以分成三个部分：

• $f(x,y,z)$ 是被累加的量。
• $E$ 是进行累加的立体区域。
• $dV$ 表示一个极小的体积小块。

所以，$\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ 的意思就是“把 $E$ 中所有微小体积元上的 $f$ 值加起来”。

这种解释会随着被积函数而变化：

• 如果 $f(x,y,z)=1$，结果就是体积。
• 如果 $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ 是密度，结果就是质量。
• 如果 $f$ 表示温度、电荷密度或其他分布量，结果就是该量在整个立体区域上的总量。

结果并不一定自动就是体积。这取决于被积函数表示的是什么。

如何把三重积分写成累次积分

大多数课程题目都是按一个变量一个变量地计算。在微积分中常见的条件下，你可以把三重积分改写成如下形式的累次积分：

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

具体的积分限取决于区域本身。核心思想很简单：最内层积分限描述最里面的切片，下一层积分限描述这些切片如何堆叠，而最外层积分限描述整个立体区域的扫描范围。

很多时候你可以改变积分次序，但积分限也必须随之改变。很多设定错误就出现在这里。

哪种坐标系能让设定更简单

直角坐标

当立体区域天然由平面或矩形型边界描述时，使用直角坐标最方便，比如长方体，或由像 $z = x+y$ 这样的曲面截出的简单区域。

这时

$$dV = dx\,dy\,dz$$

积分次序可以按你的选择调整。

柱坐标

对于绕某条轴具有圆对称性的区域，比如圆柱或圆锥，适合使用柱坐标。设

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

则体积元变为

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

额外的因子 $r$ 不是可有可无的。它来自坐标变换。

球坐标

当球面或球对称性使区域更容易描述时，适合使用球坐标。一种常见约定是

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

对应的体积元为

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

不同课程对角度的约定可能不同，所以最好确认你的课程采用的是哪一种。

例题：单位立方体上的质量

求单位立方体

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

在密度为

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

时的质量。

因为该区域是一个长方体，所以自然选择直角坐标：

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

先对 $z$ 积分：

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

所以原积分变成

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

现在对 $y$ 积分：

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

然后对 $x$ 积分：

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

所以质量为

$$M=\frac{5}{2}.$$

这个例子清楚地展示了体积和质量的区别。如果密度处处都是 $1$，那么同一区域的体积就是 $1$。由于这个立方体中很大一部分区域的密度都大于 $1$，所以算出的质量更大。

三重积分中的常见错误

1. 使用了实际上并不能描述该立体区域的积分限。
2. 忘记积分次序决定了哪些积分限可以依赖哪些变量。
3. 在计算内层积分时，把外层变量也当成活动变量，而不是把它们视为常数。
4. 在柱坐标或球坐标中漏掉雅可比因子。
5. 当被积函数不是 $1$ 时，仍把答案称为“体积”。

三重积分的应用场景

当某个量是分布在体积中，而不是分布在线上或曲面上时，就会用到三重积分。

• 在几何中，它用于求体积。
• 在物理和工程中，当密度在立体内部变化时，它用于求质量。
• 在电磁学和流体模型中，它用于对三维区域上的电荷、能量或其他量求总和。
• 在概率论中，当涉及三个连续变量时，它可以在三维区域上对密度函数积分。

积分的设定取决于区域。积分结果的含义取决于被积函数。

积分前的快速检查

在开始计算之前，先问自己：

1. 这里的被积函数表示什么：体积密度、质量密度，还是别的量？
2. 我积分的立体区域到底是什么？
3. 换一种坐标系会不会让积分限更简单？

这三个检查通常比任何符号技巧都更能帮助你发现错误。

试试类似的问题

你可以把同一个单位立方体上的密度改成 $\rho(x,y,z)=2+x$，自己计算它的质量。然后再尝试一个圆柱体，看看在开始积分之前，柱坐标是否能让积分限更简单。