Integral Lipat Tiga — Volume, Massa & Metode Perhitungan

Integral lipat tiga menjumlahkan sebuah fungsi pada suatu daerah tiga dimensi. Penggunaan utama yang biasanya pertama kali ditemui siswa adalah untuk volume, saat integrannya $1$, dan untuk massa, saat integrannya adalah fungsi rapat massa.

Biasanya ditulis sebagai

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

dengan $E$ adalah bangun ruang dan $dV$ adalah elemen volume yang sangat kecil. Untuk menghitung integral lipat tiga, biasanya Anda menulis ulang sebagai integral berulang dengan batas yang sesuai dengan bangun ruang tersebut.

Apa arti integral lipat tiga

Ada tiga bagian yang perlu dibaca:

• $f(x,y,z)$ adalah besaran yang dijumlahkan.
• $E$ adalah daerah bangun ruang tempat penjumlahan dilakukan.
• $dV$ berarti potongan volume yang sangat kecil.

Jadi $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ berarti "jumlahkan nilai-nilai $f$ pada semua potongan volume kecil di dalam $E$."

Penafsiran ini berubah tergantung integrannya:

• Jika $f(x,y,z)=1$, hasilnya adalah volume.
• Jika $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ adalah rapat massa, hasilnya adalah massa.
• Jika $f$ adalah suhu, rapat muatan, atau besaran tersebar lainnya, hasilnya adalah jumlah total besaran itu pada bangun ruang tersebut.

Hasilnya tidak otomatis berupa volume. Itu bergantung pada apa yang direpresentasikan oleh integran.

Cara menulis integral lipat tiga sebagai integral berulang

Sebagian besar soal kuliah dihitung satu variabel pada satu waktu. Dalam kondisi biasa yang digunakan di kalkulus, Anda menulis ulang integral lipat tiga sebagai integral berulang seperti

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Batas yang tepat bergantung pada daerahnya. Gagasan utamanya sederhana: batas terdalam menjelaskan irisan paling dalam, batas berikutnya menjelaskan tumpukan irisan tersebut, dan batas terluar menjelaskan sapuan penuh melalui bangun ruang.

Sering kali Anda bisa mengubah urutan integrasi, tetapi batasnya juga harus ikut berubah. Di sinilah banyak kesalahan penyusunan terjadi.

Sistem koordinat mana yang membuat penyusunan lebih mudah

Koordinat Kartesius

Gunakan koordinat Kartesius saat bangun ruang secara alami dijelaskan oleh bidang atau batas persegi panjang, seperti balok dan daerah sederhana yang dipotong oleh grafik seperti $z = x+y$.

Maka

$$dV = dx\,dy\,dz$$

sesuai urutan yang Anda pilih.

Koordinat silinder

Gunakan koordinat silinder untuk daerah dengan simetri melingkar terhadap suatu sumbu, seperti silinder atau kerucut. Dengan

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

elemen volumenya menjadi

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Faktor tambahan $r$ tidak boleh dihilangkan. Faktor itu muncul dari perubahan koordinat.

Koordinat bola

Gunakan koordinat bola saat bola atau simetri bola membuat daerah lebih mudah dijelaskan. Salah satu konvensi yang umum adalah

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

dengan elemen volume

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Konvensi untuk sudut dapat berbeda antar mata kuliah, jadi sebaiknya periksa konvensi yang digunakan di kelas Anda.

Contoh dikerjakan: massa pada kubus satuan

Tentukan massa kubus satuan

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

jika rapat massanya adalah

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Karena daerahnya berupa balok, koordinat Kartesius adalah pilihan yang alami:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Integralkan terhadap $z$ terlebih dahulu:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Jadi integralnya menjadi

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Sekarang integralkan terhadap $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Lalu integralkan terhadap $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Jadi massanya adalah

$$M=\frac{5}{2}.$$

Contoh ini menunjukkan perbedaan antara volume dan massa dengan jelas. Jika rapat massanya adalah $1$ di seluruh daerah, maka daerah yang sama akan memiliki volume $1$. Karena rapat massanya lebih besar dari $1$ pada sebagian besar kubus, massanya menjadi lebih besar.

Kesalahan umum pada integral lipat tiga

1. Menggunakan batas yang sebenarnya tidak menggambarkan bangun ruang.
2. Lupa bahwa urutan integrasi menentukan batas mana yang boleh bergantung pada variabel mana.
3. Memperlakukan variabel luar sebagai aktif saat langkah integral dalam, padahal harus dianggap konstan.
4. Menghilangkan faktor Jacobian pada koordinat silinder atau bola.
5. Menyebut jawabannya sebagai "volume" saat integrannya bukan $1$.

Kapan integral lipat tiga digunakan

Integral lipat tiga muncul saat suatu besaran tersebar di seluruh volume, bukan sepanjang garis atau pada suatu permukaan.

• Dalam geometri, integral ini memberikan volume.
• Dalam fisika dan teknik, integral ini memberikan massa saat rapat massa berubah di dalam bangun ruang.
• Dalam elektromagnetisme dan model fluida, integral ini menjumlahkan muatan, energi, atau besaran lain pada daerah 3D.
• Dalam probabilitas, integral ini dapat mengintegralkan fungsi rapat pada domain 3D saat melibatkan tiga variabel kontinu.

Penyusunannya bergantung pada daerahnya. Penafsirannya bergantung pada integrannya.

Pemeriksaan cepat sebelum mengintegralkan

Sebelum melakukan aljabar, tanyakan:

1. Apa yang direpresentasikan oleh integran di sini: rapat volume, rapat massa, atau sesuatu yang lain?
2. Bangun ruang apa tepatnya yang sedang saya integralkan?
3. Apakah sistem koordinat lain akan membuat batasnya lebih sederhana?

Tiga pemeriksaan ini biasanya menangkap lebih banyak kesalahan daripada trik simbolik apa pun.

Coba soal serupa

Coba versi Anda sendiri dengan $\rho(x,y,z)=2+x$ pada kubus satuan yang sama dan hitung massanya. Lalu telusuri sebuah silinder dan tentukan apakah koordinat silinder membuat batasnya lebih sederhana sebelum mulai mengintegralkan.