Τριπλά ολοκληρώματα — Όγκος, μάζα και μέθοδοι υπολογισμού

Τα τριπλά ολοκληρώματα αθροίζουν μια συνάρτηση πάνω σε μια τρισδιάστατη περιοχή. Οι βασικές χρήσεις που συναντούν πρώτα οι μαθητές είναι ο όγκος, όταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι $1$, και η μάζα, όταν η συνάρτηση είναι πυκνότητα.

Συνήθως γράφεται ως

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

όπου το $E$ είναι το στερεό και το $dV$ είναι ένα απειροστό στοιχείο όγκου. Για να υπολογίσεις ένα τριπλό ολοκλήρωμα, συνήθως το ξαναγράφεις ως επαναληπτικό ολοκλήρωμα με όρια που ταιριάζουν στο στερεό.

Τι σημαίνει ένα τριπλό ολοκλήρωμα

Υπάρχουν τρία μέρη που πρέπει να διαβάσεις:

• Το $f(x,y,z)$ είναι το μέγεθος που αθροίζεται.
• Το $E$ είναι η στερεή περιοχή όπου το αθροίζεις.
• Το $dV$ σημαίνει ένα απειροστό κομμάτι όγκου.

Άρα το $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ σημαίνει «άθροισε τις τιμές του $f$ πάνω σε όλα τα απειροστά στοιχεία όγκου μέσα στο $E$».

Αυτή η ερμηνεία αλλάζει ανάλογα με την ολοκληρωτέα συνάρτηση:

• Αν $f(x,y,z)=1$, το αποτέλεσμα είναι όγκος.
• Αν $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ είναι πυκνότητα, το αποτέλεσμα είναι μάζα.
• Αν το $f$ είναι θερμοκρασία, πυκνότητα φορτίου ή κάποιο άλλο κατανεμημένο μέγεθος, το αποτέλεσμα είναι το συνολικό ποσό αυτού του μεγέθους πάνω στο στερεό.

Το αποτέλεσμα δεν είναι αυτόματα όγκος. Αυτό εξαρτάται από το τι παριστάνει η ολοκληρωτέα συνάρτηση.

Πώς να γράψεις ένα τριπλό ολοκλήρωμα ως επαναληπτικό ολοκλήρωμα

Τα περισσότερα προβλήματα στα μαθήματα υπολογίζονται μία μεταβλητή κάθε φορά. Κάτω από τις συνήθεις προϋποθέσεις του λογισμού, ξαναγράφεις το τριπλό ολοκλήρωμα ως επαναληπτικό ολοκλήρωμα όπως

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Τα ακριβή όρια εξαρτώνται από την περιοχή. Η βασική ιδέα είναι απλή: τα εσωτερικά όρια περιγράφουν την πιο εσωτερική τομή, τα επόμενα όρια περιγράφουν τη στοίβα αυτών των τομών και τα εξωτερικά όρια περιγράφουν όλη τη σάρωση μέσα στο στερεό.

Συχνά μπορείς να αλλάξεις τη σειρά ολοκλήρωσης, αλλά τότε πρέπει να αλλάξουν και τα όρια. Εκεί γίνονται πολλά λάθη στη διατύπωση.

Ποιο σύστημα συντεταγμένων κάνει τη διατύπωση ευκολότερη

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Χρησιμοποίησε καρτεσιανές συντεταγμένες όταν το στερεό περιγράφεται φυσικά με επίπεδα ή ορθογώνια όρια, όπως παραλληλεπίπεδα και απλές περιοχές που ορίζονται από γραφήματα όπως $z = x+y$.

Τότε

$$dV = dx\,dy\,dz$$

μέχρι τη σειρά που θα επιλέξεις.

Κυλινδρικές συντεταγμένες

Χρησιμοποίησε κυλινδρικές συντεταγμένες για περιοχές με κυκλική συμμετρία γύρω από έναν άξονα, όπως κύλινδροι ή κώνοι. Με

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

το στοιχείο όγκου γίνεται

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Ο επιπλέον παράγοντας $r$ δεν είναι προαιρετικός. Προκύπτει από την αλλαγή συντεταγμένων.

Σφαιρικές συντεταγμένες

Χρησιμοποίησε σφαιρικές συντεταγμένες όταν οι σφαίρες ή η σφαιρική συμμετρία κάνουν την περιοχή ευκολότερη στην περιγραφή. Μια συνηθισμένη σύμβαση είναι

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

με στοιχείο όγκου

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Οι συμβάσεις για τις γωνίες μπορεί να διαφέρουν από μάθημα σε μάθημα, οπότε αξίζει να ελέγξεις ποια χρησιμοποιεί το δικό σου.

Λυμένο παράδειγμα: μάζα στο μοναδιαίο κύβο

Βρες τη μάζα του μοναδιαίου κύβου

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

αν η πυκνότητα είναι

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Επειδή η περιοχή είναι ένα κουτί, οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι η φυσική επιλογή:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Ολοκλήρωσε πρώτα ως προς $z$:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Τώρα ολοκλήρωσε ως προς $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Έπειτα ολοκλήρωσε ως προς $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Άρα η μάζα είναι

$$M=\frac{5}{2}.$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά τη διαφορά ανάμεσα στον όγκο και τη μάζα. Αν η πυκνότητα ήταν $1$ παντού, η ίδια περιοχή θα είχε όγκο $1$. Επειδή η πυκνότητα είναι μεγαλύτερη από $1$ σε μεγάλο μέρος του κύβου, η μάζα βγαίνει μεγαλύτερη.

Συνηθισμένα λάθη στα τριπλά ολοκληρώματα

1. Χρήση ορίων που δεν περιγράφουν πραγματικά το στερεό.
2. Να ξεχνάς ότι η σειρά ολοκλήρωσης καθορίζει από ποιες μεταβλητές μπορούν να εξαρτώνται τα όρια.
3. Να αντιμετωπίζεις τις εξωτερικές μεταβλητές σαν ενεργές στο εσωτερικό βήμα αντί να τις κρατάς σταθερές.
4. Να παραλείπεις τον παράγοντα Jacobian σε κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες.
5. Να αποκαλείς την απάντηση «όγκο» όταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση δεν είναι $1$.

Πότε χρησιμοποιούνται τα τριπλά ολοκληρώματα

Τα τριπλά ολοκληρώματα εμφανίζονται όταν ένα μέγεθος είναι κατανεμημένο μέσα σε έναν όγκο και όχι πάνω σε μια γραμμή ή σε μια επιφάνεια.

• Στη γεωμετρία, δίνουν όγκο.
• Στη φυσική και στη μηχανική, δίνουν μάζα όταν η πυκνότητα μεταβάλλεται μέσα στο στερεό.
• Στον ηλεκτρομαγνητισμό και στα μοντέλα ρευστών, αθροίζουν φορτίο, ενέργεια ή άλλα μεγέθη πάνω σε μια τρισδιάστατη περιοχή.
• Στην πιθανότητα, μπορούν να ολοκληρώνουν μια πυκνότητα πάνω σε ένα τρισδιάστατο πεδίο όταν εμπλέκονται τρεις συνεχείς μεταβλητές.

Η διατύπωση εξαρτάται από την περιοχή. Η ερμηνεία εξαρτάται από την ολοκληρωτέα συνάρτηση.

Γρήγορος έλεγχος πριν ολοκληρώσεις

Πριν κάνεις την άλγεβρα, ρώτησε:

1. Τι παριστάνει εδώ η ολοκληρωτέα συνάρτηση: πυκνότητα όγκου, πυκνότητα μάζας ή κάτι άλλο;
2. Πάνω σε ποιο στερεό ολοκληρώνω ακριβώς;
3. Θα έκανε ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων τα όρια απλούστερα;

Αυτοί οι τρεις έλεγχοι συνήθως προλαβαίνουν περισσότερα λάθη από οποιοδήποτε συμβολικό τέχνασμα.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με $\rho(x,y,z)=2+x$ στον ίδιο μοναδιαίο κύβο και υπολόγισε τη μάζα. Έπειτα εξέτασε έναν κύλινδρο και αποφάσισε αν οι κυλινδρικές συντεταγμένες κάνουν τα όρια απλούστερα πριν αρχίσεις να ολοκληρώνεις.