Phân kỳ và xoáy

Phân kỳ và xoáy mô tả hai đặc điểm cục bộ khác nhau của một trường vectơ. Phân kỳ đo xem trường có đang lan ra hay co vào gần một điểm hay không, còn xoáy đo xem nó có xu hướng làm một vật nhỏ quay hay không.

Nếu chỉ nhớ một điểm đối lập, hãy nhớ điều này: phân kỳ nói về dòng ra cục bộ, còn xoáy nói về sự quay cục bộ.

Phân kỳ đo dòng ra hoặc dòng vào cục bộ

Với một trường vectơ 3D

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

phân kỳ là

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$

Công thức này cộng tốc độ thay đổi của mỗi thành phần theo đúng phương của chính nó. Nếu kết quả dương tại một điểm, thì tại đó trường cục bộ hoạt động giống như một dòng chảy hướng ra ngoài nhiều hơn. Nếu âm, thì trường cục bộ hoạt động giống như một dòng chảy hướng vào trong nhiều hơn.

Cách hình dung bằng dòng chảy hữu ích nhất khi trường vectơ khả vi gần điểm đó và thực sự biểu diễn một đại lượng như vận tốc.

Xoáy đo sự quay cục bộ

Với cùng trường 3D đó, xoáy là

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Xoáy đo sự quay cục bộ. Xoáy khác 0 có nghĩa là trường có xu hướng làm một bánh xe guồng rất nhỏ quay.

Trong một trường 2D $\mathbf{F} = (P, Q)$, nhiều khóa học dùng

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

làm “xoáy”. Nói chặt chẽ hơn, đây là thành phần theo $z$ của xoáy 3D khi trường nằm trong mặt phẳng.

Phân kỳ và xoáy qua một ví dụ cụ thể

Cách so sánh rõ nhất là đặt một trường lan ra thuần túy cạnh một trường quay thuần túy.

Trước hết, xét

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y).$$

Trường này hướng ra xa gốc tọa độ, và các mũi tên dài hơn khi bạn đi ra xa hơn. Phân kỳ của nó là

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2.$$

Giá trị xoáy 2D của nó là

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$$

Vậy trường này có phân kỳ dương và không có xoáy. Nó hoạt động như sự lan ra cục bộ thuần túy mà không quay.

Bây giờ so sánh với

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x).$$

Trường này quay quanh gốc tọa độ. Phân kỳ của nó là

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0.$$

Giá trị xoáy 2D của nó là

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

Vậy trường này có phân kỳ bằng 0 nhưng xoáy khác 0. Nó hoạt động như sự quay cục bộ mà không có sự lan ra thuần.

Đó là điểm đối lập chính:

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{lan ra,}$$

trong khi

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{xoáy quanh.}$$

Nếu một bài toán hỏi mỗi đại lượng phát hiện điều gì, thì ví dụ này đã cho câu trả lời: phân kỳ nhận ra trường thứ nhất, còn xoáy nhận ra trường thứ hai.

Những lỗi thường gặp với phân kỳ và xoáy

1. Xem phân kỳ và xoáy như cùng một loại phép đo. Chúng trả lời những câu hỏi khác nhau.
2. Quên rằng xoáy trong 2D thường được trình bày như một cách viết tắt vô hướng, chứ không phải vectơ 3D đầy đủ.
3. Cho rằng phân kỳ dương nghĩa là các vectơ lớn. Phân kỳ phụ thuộc vào cách trường thay đổi, không chỉ vào độ dài mũi tên.
4. Cho rằng phân kỳ bằng 0 nghĩa là trường bằng 0. Một trường có thể khác 0 ở mọi nơi mà vẫn có phân kỳ bằng 0.
5. Dùng cách diễn giải theo dòng chảy mà không kiểm tra mô hình. “Nguồn”, “hố hút” và “sự quay” là trực giác vật lý, không phải lúc nào cũng là sự thật tự động trong mọi ngữ cảnh.

Phân kỳ và xoáy được dùng ở đâu

Phân kỳ và xoáy xuất hiện trong giải tích vectơ, dòng chảy chất lưu và điện từ học vì chúng tách ra hai hành vi cục bộ hữu ích: giãn nở và quay.

Trong các mô hình chất lưu, phân kỳ có thể mô tả sự nén hoặc giãn nở cục bộ của dòng chảy, còn xoáy có thể mô tả sự quay cục bộ. Trong điện từ học, cả hai đều xuất hiện trong các phương trình Maxwell, nơi chúng liên hệ hành vi của trường với điện tích, dòng điện và các trường biến thiên.

Nói rộng hơn, chúng giúp bạn đọc một trường vectơ thay vì chỉ vẽ các mũi tên.

Một hình dung nhanh thường rất hữu ích

Hãy tưởng tượng đặt hai dụng cụ rất nhỏ vào trong một trường:

1. Một quả bóng nhỏ kiểm tra xem trường có xu hướng làm giãn nở hay nén lại quanh một điểm hay không. Đó là ý tưởng của phân kỳ.
2. Một bánh xe guồng nhỏ kiểm tra xem trường có xu hướng làm nó xoay hay không. Đó là ý tưởng của xoáy.

Đây là những hình dung, không phải định nghĩa, nhưng chúng rất hữu ích khi trường đủ trơn và biểu diễn một thứ giống dòng chảy.

Hãy thử một bài tương tự

Xét trường

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y).$$

Hãy tính phân kỳ và giá trị xoáy 2D của nó. Sau đó quyết định xem trường này giống sự lan ra cục bộ, sự quay cục bộ, cả hai, hay không cái nào.

Nếu muốn kiểm tra thêm một lần nữa, hãy thử $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$ và xem phân kỳ, xoáy, hay cả hai có thay đổi không.