Tọa độ cực — Chuyển đổi, Vẽ đồ thị & Phương trình

Tọa độ cực mô tả một điểm bằng khoảng cách và góc thay vì vị trí ngang và dọc. Một điểm $(r,\theta)$ có nghĩa là "đi $r$ đơn vị từ gốc tọa độ theo góc $\theta$ tính từ trục $x$ dương." Chúng đặc biệt hữu ích khi đồ thị hoặc bài toán phụ thuộc tự nhiên vào khoảng cách đến gốc tọa độ hoặc sự quay quanh nó.

Để chuyển đổi giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes, dùng

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

và

$$r^2 = x^2 + y^2$$

Nếu bạn cần tìm góc từ một điểm Descartes, hãy dùng góc phần tư kết hợp với $\tan\theta = \frac{y}{x}$ khi $x \ne 0$. Điều kiện đó rất quan trọng: cùng một giá trị tang có thể xuất hiện ở nhiều hơn một góc phần tư.

Ý nghĩa của $(r,\theta)$

Trong tọa độ Descartes, $(3,4)$ nghĩa là đi $3$ đơn vị theo trục $x$ và $4$ đơn vị theo trục $y$. Trong tọa độ cực, $(5,\theta)$ nghĩa là đi $5$ đơn vị từ gốc tọa độ rồi quay một góc $\theta$.

Cách nhìn này phù hợp hơn với đường tròn, đường xoắn ốc và chuyển động quanh một tâm. Nó cũng giải thích vì sao tọa độ cực không là duy nhất: $(r,\theta)$ và $(r,\theta + 2\pi)$ là cùng một điểm, và $(r,\theta)$ với $(-r,\theta + \pi)$ cũng là cùng một điểm.

Cách chuyển đổi giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

Để đổi từ cực sang Descartes, thay $r$ và $\theta$ vào

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

Để đổi từ Descartes sang cực, trước hết tìm khoảng cách:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Sau đó chọn góc $\theta$ hướng đến đúng góc phần tư. Ví dụ, điểm $(-3,3)$ có $\tan\theta = -1$, nhưng góc đúng nằm ở Góc phần tư II, nên $\theta = \frac{3\pi}{4}$ chứ không phải $-\frac{\pi}{4}$.

Có một trường hợp đặc biệt: tại gốc tọa độ, $r = 0$ và góc không duy nhất. Bất kỳ góc nào cũng rơi vào cùng một điểm.

Cách vẽ đồ thị một phương trình cực

Một phương trình cực cho biết $r$ thay đổi như thế nào khi $\theta$ thay đổi. Điều đó khác với phương trình Descartes, vốn thường liên hệ trực tiếp giữa $y$ và $x$.

Đó là lý do các phương trình như $r = 2$, $r = 1 + \cos\theta$, và $r = \theta$ trông rất tự nhiên ở dạng cực. Chúng mô tả khoảng cách đến gốc tọa độ khi góc thay đổi.

Ví dụ có lời giải: đổi $r = 2\cos\theta$ sang dạng Descartes

Ví dụ này cho thấy một phương trình cực có thể ẩn đi một đồ thị quen thuộc. Bắt đầu với

$$r = 2\cos\theta$$

Nhân hai vế với $r$:

$$r^2 = 2r\cos\theta$$

Bây giờ dùng $r^2 = x^2 + y^2$ và $r\cos\theta = x$:

$$x^2 + y^2 = 2x$$

Hoàn thành bình phương:

$$x^2 - 2x + y^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$

Vậy đồ thị là một đường tròn tâm tại $(1,0)$ với bán kính $1$.

Điều này cũng giải thích hình dạng của nó. Gần $\theta = 0$, $\cos\theta$ dương và lớn nhất, nên đường cong vươn sang phải. Khi $\cos\theta$ âm, $r$ trở thành số âm, làm điểm bị lật đi một góc $\pi$ và vẫn vẽ ra cùng một đường tròn.

Những lỗi thường gặp trong tọa độ cực

Một lỗi phổ biến là cho rằng mỗi điểm chỉ có một dạng cực duy nhất. Điều đó không đúng, nên hai đáp án có thể trông khác nhau nhưng vẫn mô tả cùng một điểm.

Một lỗi khác là dùng $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ mà không kiểm tra góc phần tư. Điều đó có thể cho hướng sai ngay cả khi $r$ là đúng.

Học sinh cũng thường nhầm lẫn giữa radian và độ. Đồ thị phụ thuộc vào đơn vị mà bài toán sử dụng, nên hãy giữ lựa chọn đó nhất quán.

Một lỗi cuối cùng là quên mất ý nghĩa của $r$ âm. Nó không có nghĩa là "không hợp lệ." Nó có nghĩa là đi theo hướng ngược với góc đã cho. Ở gốc tọa độ thì xảy ra lỗi ngược lại: học sinh cố gán một góc duy nhất, dù ở đó không cần một góc duy nhất nào.

Khi nào tọa độ cực hữu ích

Tọa độ cực đặc biệt hữu ích khi bài toán có tính đối xứng xuyên tâm hoặc chuyển động theo góc. Những ví dụ quen thuộc gồm đường tròn tâm tại gốc tọa độ, các đường cong dạng xoắn ốc, mô hình chuyển động quỹ đạo, và các trường hoặc sóng phụ thuộc vào khoảng cách đến một điểm trung tâm.

Chúng cũng hữu ích trong giải tích và vật lý vì một số tích phân và phương trình trở nên đơn giản hơn khi khoảng cách và góc là các biến tự nhiên.

Hãy thử một phép đổi tương tự

Hãy tự thử với $r = 4\sin\theta$. Đổi nó sang dạng Descartes và xác định đồ thị. Nếu bạn thu được một đường tròn, thì bạn đang thấy cùng một mẫu chuyển đổi nhưng theo một hướng hơi khác.