Integrales triples — volumen, masa y métodos de evaluación

Las integrales triples suman una función sobre una región tridimensional. Los primeros usos que suelen ver los estudiantes son el volumen, cuando el integrando es $1$, y la masa, cuando el integrando es una función de densidad.

Normalmente se escribe como

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

donde $E$ es el sólido y $dV$ es un pequeño elemento de volumen. Para evaluar una integral triple, normalmente la reescribes como una integral iterada con límites que coincidan con el sólido.

Qué significa una integral triple

Hay tres partes que leer:

• $f(x,y,z)$ es la cantidad que se está sumando.
• $E$ es la región sólida donde se suma.
• $dV$ significa una pequeña porción de volumen.

Así, $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ significa “sumar los valores de $f$ sobre todas las pequeñas porciones de volumen de $E$”.

Esa interpretación cambia según el integrando:

• Si $f(x,y,z)=1$, el resultado es el volumen.
• Si $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ es una densidad, el resultado es la masa.
• Si $f$ es temperatura, densidad de carga u otra cantidad distribuida, el resultado es la cantidad total de esa magnitud sobre el sólido.

El resultado no es automáticamente un volumen. Eso depende de lo que represente el integrando.

Cómo escribir una integral triple como una integral iterada

La mayoría de los problemas del curso se evalúan una variable a la vez. Bajo las condiciones habituales usadas en cálculo, reescribes la integral triple como una integral iterada como

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Los límites exactos dependen de la región. La idea principal es simple: los límites interiores describen la rebanada más interna, los siguientes límites describen el apilamiento de esas rebanadas y los límites exteriores describen el recorrido completo a través del sólido.

A menudo puedes cambiar el orden de integración, pero los límites deben cambiar con él. Ahí es donde ocurren muchos errores de planteamiento.

Qué sistema de coordenadas hace más fácil el planteamiento

Coordenadas cartesianas

Usa coordenadas cartesianas cuando el sólido se describe de forma natural mediante planos o límites rectangulares, como cajas y regiones simples cortadas por gráficas como $z = x+y$.

Entonces

$$dV = dx\,dy\,dz$$

según el orden que elijas.

Coordenadas cilíndricas

Usa coordenadas cilíndricas para regiones con simetría circular alrededor de un eje, como cilindros o conos. Con

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

el elemento de volumen se convierte en

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

El factor extra $r$ no es opcional. Proviene del cambio de coordenadas.

Coordenadas esféricas

Usa coordenadas esféricas cuando las esferas o la simetría esférica hacen que la región sea más fácil de describir. Una convención común es

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

con elemento de volumen

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Las convenciones para los ángulos pueden variar según el curso, así que conviene comprobar cuál usa tu clase.

Ejemplo resuelto: masa en el cubo unidad

Halla la masa del cubo unidad

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

si la densidad es

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Como la región es una caja, las coordenadas cartesianas son la elección natural:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Integra primero respecto de $z$:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Así que la integral se convierte en

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Ahora integra respecto de $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Luego integra respecto de $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Por tanto, la masa es

$$M=\frac{5}{2}.$$

Este ejemplo muestra claramente la diferencia entre volumen y masa. Si la densidad hubiera sido $1$ en todas partes, la misma región tendría volumen $1$. Como la densidad es mayor que $1$ en gran parte del cubo, la masa resulta mayor.

Errores comunes con integrales triples

1. Usar límites que en realidad no describen el sólido.
2. Olvidar que el orden de integración determina de qué variables puede depender cada límite.
3. Tratar las variables exteriores como activas durante el paso interior en lugar de mantenerlas constantes.
4. Omitir el factor jacobiano en coordenadas cilíndricas o esféricas.
5. Llamar “volumen” a la respuesta cuando el integrando no es $1$.

Cuándo se usan las integrales triples

Las integrales triples aparecen cuando una cantidad está distribuida en un volumen, en lugar de estarlo a lo largo de una línea o sobre una superficie.

• En geometría, dan volumen.
• En física e ingeniería, dan masa cuando la densidad varía en un sólido.
• En electromagnetismo y modelos de fluidos, suman carga, energía u otras cantidades sobre una región 3D.
• En probabilidad, pueden integrar una densidad sobre un dominio 3D cuando intervienen tres variables continuas.

El planteamiento depende de la región. La interpretación depende del integrando.

Comprobación rápida antes de integrar

Antes de hacer el álgebra, pregúntate:

1. ¿Qué representa aquí el integrando: densidad de volumen, densidad de masa u otra cosa?
2. ¿Sobre qué sólido estoy integrando exactamente?
3. ¿Haría otro sistema de coordenadas que los límites fueran más simples?

Estas tres comprobaciones suelen detectar más errores que cualquier truco simbólico.

Prueba un problema parecido

Prueba tu propia versión con $\rho(x,y,z)=2+x$ en el mismo cubo unidad y calcula la masa. Luego estudia un cilindro y decide si las coordenadas cilíndricas hacen que los límites sean más simples antes de empezar a integrar.