Dreifachintegrale — Volumen, Masse & Berechnungsmethoden

Dreifachintegrale summieren eine Funktion über einen dreidimensionalen Bereich. Die ersten Anwendungen, die Studierende meist sehen, sind Volumen, wenn der Integrand $1$ ist, und Masse, wenn der Integrand eine Dichtefunktion ist.

Man schreibt sie normalerweise als

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$$

wobei $E$ der Körper und $dV$ ein winziges Volumenelement ist. Um ein Dreifachintegral zu berechnen, schreibt man es meist als iteriertes Integral mit Grenzen um, die zum Körper passen.

Was ein Dreifachintegral bedeutet

Es gibt drei Bestandteile:

• $f(x,y,z)$ ist die Größe, die aufsummiert wird.
• $E$ ist der räumliche Bereich, über den summiert wird.
• $dV$ bedeutet ein winziges Stück Volumen.

Also bedeutet $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$: „Addiere die Werte von $f$ über alle kleinen Volumenstücke in $E$.“

Diese Interpretation hängt vom Integranden ab:

• Wenn $f(x,y,z)=1$ ist, ist das Ergebnis ein Volumen.
• Wenn $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$ eine Dichte ist, ist das Ergebnis eine Masse.
• Wenn $f$ Temperatur, Ladungsdichte oder eine andere verteilte Größe ist, dann ist das Ergebnis die Gesamtmenge dieser Größe über dem Körper.

Das Ergebnis ist also nicht automatisch ein Volumen. Das hängt davon ab, was der Integrand darstellt.

Wie man ein Dreifachintegral als iteriertes Integral schreibt

In den meisten Aufgaben im Studium wird eine Variable nach der anderen integriert. Unter den in der Analysis üblichen Voraussetzungen schreibt man das Dreifachintegral als iteriertes Integral um, zum Beispiel als

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

Die genauen Grenzen hängen vom Bereich ab. Die Grundidee ist einfach: Die inneren Grenzen beschreiben den innersten Schnitt, die nächsten Grenzen den Stapel dieser Schnitte, und die äußeren Grenzen beschreiben das vollständige Durchlaufen des Körpers.

Oft kann man die Integrationsreihenfolge ändern, aber dann müssen sich auch die Grenzen ändern. Genau dabei passieren viele Aufstellungsfehler.

Welches Koordinatensystem den Ansatz einfacher macht

Kartesische Koordinaten

Verwende kartesische Koordinaten, wenn der Körper natürlich durch Ebenen oder rechteckige Grenzen beschrieben wird, etwa bei Quadern und einfachen Bereichen, die durch Graphen wie $z = x+y$ begrenzt sind.

Dann gilt

$$dV = dx\,dy\,dz$$

bis auf die gewählte Reihenfolge.

Zylinderkoordinaten

Verwende Zylinderkoordinaten für Bereiche mit Kreissymmetrie um eine Achse, etwa Zylinder oder Kegel. Mit

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad z=z,$$

wird das Volumenelement zu

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz.$$

Der zusätzliche Faktor $r$ ist nicht optional. Er entsteht durch den Koordinatenwechsel.

Kugelkoordinaten

Verwende Kugelkoordinaten, wenn Kugeln oder Kugelsymmetrie den Bereich leichter beschreibbar machen. Eine häufige Konvention ist

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\phi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\phi,$$

mit dem Volumenelement

$$dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta.$$

Die Winkelkonventionen können je nach Kurs variieren, daher lohnt es sich zu prüfen, welche in deiner Veranstaltung verwendet wird.

Durchgerechnetes Beispiel: Masse im Einheitswürfel

Bestimme die Masse des Einheitswürfels

$$E = \{(x,y,z) : 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1,\ 0 \le z \le 1\}$$

wenn die Dichte

$$\rho(x,y,z)=1+x+y+z.$$

Da der Bereich ein Quader ist, sind kartesische Koordinaten die natürliche Wahl:

$$M=\iiint_E (1+x+y+z)\,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (1+x+y+z)\,dz\,dy\,dx.$$

Integriere zuerst nach $z$:

$$\int_0^1 (1+x+y+z)\,dz = \left[(1+x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^1 = 1+x+y+\frac{1}{2}.$$

Damit wird das Integral zu

$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy\,dx.$$

Jetzt integriere nach $y$:

$$\int_0^1 \left(\frac{3}{2}+x+y\right)\,dy = \left[\left(\frac{3}{2}+x\right)y + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = 2+x.$$

Dann integriere nach $x$:

$$\int_0^1 (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2+\frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Also ist die Masse

$$M=\frac{5}{2}.$$

Dieses Beispiel zeigt den Unterschied zwischen Volumen und Masse deutlich. Wenn die Dichte überall $1$ gewesen wäre, hätte derselbe Bereich das Volumen $1$. Da die Dichte auf einem großen Teil des Würfels größer als $1$ ist, fällt die Masse entsprechend größer aus.

Häufige Fehler bei Dreifachintegralen

1. Grenzen zu verwenden, die den Körper tatsächlich nicht beschreiben.
2. Zu vergessen, dass die Integrationsreihenfolge bestimmt, von welchen Variablen die Grenzen abhängen dürfen.
3. Die äußeren Variablen beim inneren Integrationsschritt als veränderlich zu behandeln, statt sie konstant zu halten.
4. Den Jacobi-Faktor in Zylinder- oder Kugelkoordinaten wegzulassen.
5. Das Ergebnis „Volumen“ zu nennen, obwohl der Integrand nicht $1$ ist.

Wann Dreifachintegrale verwendet werden

Dreifachintegrale treten auf, wenn eine Größe über ein Volumen verteilt ist und nicht entlang einer Linie oder über eine Fläche.

• In der Geometrie liefern sie Volumen.
• In Physik und Ingenieurwissenschaften liefern sie Masse, wenn die Dichte in einem Körper variiert.
• In der Elektrodynamik und in Strömungsmodellen summieren sie Ladung, Energie oder andere Größen über einen 3D-Bereich.
• In der Wahrscheinlichkeitstheorie können sie eine Dichte über einen 3D-Bereich integrieren, wenn drei stetige Variablen beteiligt sind.

Der Ansatz hängt vom Bereich ab. Die Interpretation hängt vom Integranden ab.

Kurzer Check vor dem Integrieren

Bevor du mit der Rechnung beginnst, frage dich:

1. Was stellt der Integrand hier dar: Volumendichte, Massendichte oder etwas anderes?
2. Über welchen Körper integriere ich genau?
3. Würde ein anderes Koordinatensystem die Grenzen einfacher machen?

Diese drei Fragen verhindern meist mehr Fehler als jeder symbolische Trick.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit $\rho(x,y,z)=2+x$ auf demselben Einheitswürfel und berechne die Masse. Untersuche danach einen Zylinder und entscheide, ob Zylinderkoordinaten die Grenzen vereinfachen, bevor du mit dem Integrieren beginnst.