Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch — Công thức & Ví dụ

Tỉ lệ thuận nghĩa là hai đại lượng thay đổi theo cùng một hệ số, nên tỉ số của chúng luôn không đổi. Tỉ lệ nghịch nghĩa là một đại lượng tăng lên thì đại lượng kia giảm xuống theo cách làm cho tích luôn không đổi. Nói ngắn gọn, tỉ lệ thuận dùng $y = kx$, còn tỉ lệ nghịch dùng $y = \frac{k}{x}$.

So sánh nhanh tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận, khi một đại lượng tăng gấp đôi thì đại lượng kia cũng tăng gấp đôi. Nếu chúng tỉ lệ nghịch, khi một đại lượng tăng gấp đôi thì đại lượng kia giảm còn một nửa.

Các công thức chuẩn là:

$$y = kx$$

cho tỉ lệ thuận, và

$$y = \frac{k}{x}$$

cho tỉ lệ nghịch, trong đó $k$ là hằng số và $x \ne 0$.

Cách kiểm tra nhanh nhất là:

• Tỉ lệ thuận: $\frac{y}{x}$ luôn không đổi.
• Tỉ lệ nghịch: $xy$ luôn không đổi.

Tỉ lệ thuận có nghĩa là gì

Trong tỉ lệ thuận, một đại lượng luôn bằng một bội số cố định của đại lượng kia. Nếu mỗi cây bút có giá $2$ đô la, thì tổng chi phí $C$ tỉ lệ thuận với số bút $n$:

$$C = 2n$$

Ở đây hằng số tỉ lệ là $k = 2$. Tỉ số $\frac{C}{n}$ luôn bằng $2$ miễn là đơn giá không thay đổi.

Điều kiện đó rất quan trọng. Nếu có phí giao hàng cố định hoặc giảm giá khi mua nhiều, thì mối quan hệ này không còn là tỉ lệ thuận nữa.

Tỉ lệ nghịch có nghĩa là gì

Trong tỉ lệ nghịch, tích được giữ cố định thay vì tỉ số. Một ví dụ quen thuộc là thời gian và số công nhân để hoàn thành cùng một công việc, nếu mỗi công nhân làm việc với cùng năng suất và bỏ qua tổn thất do phối hợp.

Nếu $w$ là số công nhân và $t$ là thời gian, thì

$$wt = k$$

Vì vậy, tăng gấp đôi số công nhân sẽ làm thời gian giảm còn một nửa.

Đây chỉ là mô hình tỉ lệ nghịch khi tổng khối lượng công việc được giữ cố định và mọi công nhân đều làm việc hiệu quả như nhau. Trong các dự án thực tế, thêm công nhân không phải lúc nào cũng làm giảm thời gian một cách hoàn hảo.

Ví dụ giải chi tiết: tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Đặt hai trường hợp cạnh nhau sẽ dễ thấy sự khác biệt hơn.

Ví dụ về tỉ lệ thuận

Giả sử $4$ quyển vở có giá $12$ đô la với đơn giá cố định.

Giá mỗi quyển vở là

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

Vậy công thức tỉ lệ thuận là

$$C = 3n$$

Nếu bạn mua $7$ quyển vở, thì

$$C = 3(7) = 21$$

Vậy $7$ quyển vở có giá $21$ đô la.

Ví dụ về tỉ lệ nghịch

Bây giờ giả sử $4$ công nhân có thể hoàn thành cùng một công việc trong $6$ giờ, với năng suất làm việc như nhau và tổng khối lượng công việc không đổi.

Tích không đổi là

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

Vậy công thức tỉ lệ nghịch là

$$t = \frac{24}{w}$$

Nếu $8$ công nhân làm công việc đó, thì

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

Vậy công việc mất $3$ giờ.

Điểm khác biệt chính là:

• Trong trường hợp tỉ lệ thuận, tỉ số không đổi: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• Trong trường hợp tỉ lệ nghịch, tích không đổi: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

Những lỗi thường gặp với tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Nhầm mọi quan hệ tăng là tỉ lệ thuận

Không phải mọi mối quan hệ tăng đều là tỉ lệ thuận. Với tỉ lệ thuận, tỉ số phải luôn không đổi và mô hình phải có dạng $y = kx$.

Ví dụ, $y = x + 5$ tăng khi $x$ tăng, nhưng đó không phải là tỉ lệ thuận vì $\frac{y}{x}$ không cố định.

Nhầm mọi quan hệ giảm là tỉ lệ nghịch

Không phải mọi mối quan hệ giảm đều là tỉ lệ nghịch. Với tỉ lệ nghịch, tích phải luôn không đổi.

Ví dụ, $y = 10 - x$ giảm, nhưng $xy$ không giữ nguyên, nên đó không phải là tỉ lệ nghịch.

Bỏ qua điều kiện làm cho mô hình đúng

Các công thức này phụ thuộc vào việc tình huống phải đủ đơn giản. Đơn giá cố định tạo ra tỉ lệ thuận. Tổng công việc cố định với năng suất công nhân như nhau tạo ra tỉ lệ nghịch. Nếu điều kiện đó thay đổi, mô hình có thể không còn đúng.

Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch được dùng ở đâu

Tỉ lệ thuận xuất hiện trong mua sắm với giá cố định, tỉ lệ bản đồ, đổi đơn vị và quãng đường đi được với vận tốc không đổi.

Tỉ lệ nghịch xuất hiện trong các bài toán năng suất, vận tốc và thời gian đi hết một quãng đường cố định, và các mối quan hệ vật lí đơn giản khi một đại lượng phải giảm để giữ cho đại lượng khác không đổi.

Trong cả hai trường hợp, kĩ năng quan trọng nhất là nhận ra đại lượng nào được giữ không đổi.

Cách nhận biết một mối quan hệ là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

Nếu bạn chưa chắc mô hình nào phù hợp, hãy kiểm tra trước một cặp giá trị đã biết.

1. Tính $\frac{y}{x}$. Nếu giá trị này giữ nguyên ở các điểm dữ liệu hợp lệ, hãy nghĩ đến tỉ lệ thuận.
2. Tính $xy$. Nếu giá trị này giữ nguyên thay vào đó, hãy nghĩ đến tỉ lệ nghịch.
3. Nếu cả hai đều không không đổi, thì mối quan hệ đó có lẽ không thuộc loại nào trong hai loại này.

Thử một bài tương tự

Hãy thay đổi một con số trong mỗi ví dụ nhưng vẫn giữ nguyên điều kiện ban đầu. Với ví dụ về vở, hãy thay đổi đơn giá. Với ví dụ về công nhân, hãy thay đổi số công nhân và kiểm tra xem tích có còn được giữ cố định hay không.