Loi des cosinus — formule, démonstration et exemples

Utilisez la loi des cosinus lorsqu’un triangle n’est pas rectangle et que vous connaissez soit deux côtés avec l’angle compris, soit les trois côtés. Pour des côtés $a$, $b$, $c$ opposés aux angles $A$, $B$, $C$, la forme standard est

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Ici, le côté $c$ est opposé à l’angle $C$, et $C$ est l’angle entre les côtés $a$ et $b$. Le même schéma fonctionne pour les autres côtés :

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Si $C = 90^\circ$, alors $\cos C = 0$, donc la formule devient $c^2 = a^2 + b^2$. C’est pourquoi la loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore.

Quand utiliser la loi des cosinus

La configuration la plus courante est CAC : deux côtés et l’angle compris. L’angle compris est l’angle formé par ces deux côtés connus.

Elle fonctionne aussi pour CCC : les trois côtés sont connus, et vous cherchez un angle. Dans ce cas, réarrangez la formule avant d’utiliser le cosinus inverse.

Si vous connaissez déjà un côté et son angle opposé, la loi des sinus est souvent le meilleur premier outil.

Ce que signifie la formule

Si deux côtés restent fixes, le troisième côté dépend de l’angle entre eux.

Quand l’angle compris augmente, le côté opposé s’allonge. Quand l’angle diminue, le côté opposé raccourcit. Le terme $-2ab\cos C$ corrige la somme simple $a^2 + b^2$ pour tenir compte de cet angle.

C’est ce terme de correction qu’il faut retenir. Sans lui, vous traiteriez tous les triangles comme s’ils étaient rectangles.

Exemple résolu : trouver un côté

Supposons qu’un triangle ait pour côtés $a = 5$ et $b = 7$, et que l’angle compris soit $C = 60^\circ$. Trouvez le côté $c$.

Comme $c$ est opposé à l’angle connu $C$, on utilise

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Remplaçons par les valeurs :

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Comme $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Donc

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Cette réponse est cohérente : le troisième côté est plus long que $5$ mais plus court que $7 + 5 = 12$, et l’angle est modéré plutôt que très grand.

Comment trouver un angle à partir de trois côtés

Si les trois côtés sont connus, isolez d’abord le cosinus :

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Puis calculez

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Cela n’a de sens que si $a$, $b$ et $c$ forment un triangle valide. Si la valeur à l’intérieur de $\cos^{-1}$ est en dehors de l’intervalle $[-1, 1]$, il y a eu plus tôt une erreur de calcul algébrique ou de données.

Une idée de démonstration courte

Une démonstration élégante vient des coordonnées.

Placez un côté sur l’axe des $x$. Prenez un sommet en $(0, 0)$ et un autre en $(b, 0)$. Placez le troisième sommet en $(a\cos C, a\sin C)$, car ce point est à une distance $a$ de l’origine et forme un angle $C$ avec l’axe des $x$.

Utilisez maintenant la formule de distance entre $(b, 0)$ et $(a\cos C, a\sin C)$ :

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Développons :

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Puis utilisez

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

pour regrouper les deux derniers termes :

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

C’est la loi des cosinus.

Erreurs fréquentes

Associer le mauvais côté et le mauvais angle

L’angle dans la formule doit être opposé au côté situé à gauche de l’équation. Si vous utilisez l’angle $C$, alors le membre de gauche doit être $c^2$.

Utiliser la formule comme si tous les triangles étaient rectangles

Si l’angle n’est pas $90^\circ$, vous ne pouvez pas supprimer le terme $-2ab\cos C$.

Oublier le mode de la calculatrice

Si l’énoncé donne des degrés, votre calculatrice doit être en mode degrés. S’il donne des radians, utilisez le mode radians.

Chercher un angle sans isoler soigneusement le cosinus

Quand les trois côtés sont connus, réarrangez d’abord, puis utilisez le cosinus inverse. Une petite erreur algébrique à cette étape peut beaucoup fausser l’angle final.

Où la loi des cosinus est utilisée

La loi des cosinus est courante en géométrie, en trigonométrie, en topographie, en navigation, et dans tout problème où l’on a besoin de distances dans un triangle non rectangle.

En mathématiques scolaires, les deux usages principaux sont :

• trouver un côté manquant à partir de deux côtés et de l’angle compris
• trouver un angle manquant à partir des trois côtés

Si vous avez déjà un triangle rectangle, le théorème de Pythagore est généralement la version la plus simple. Si vous connaissez plutôt des angles avec une paire côté-angle, la loi des sinus peut être plus adaptée.

Essayez votre propre version

Prenez $a = 8$, $b = 11$ et $C = 30^\circ$, puis trouvez $c$. Ensuite, remplacez $C$ par $120^\circ$ et comparez le résultat. Voir le côté opposé grandir est l’un des moyens les plus rapides de rendre la formule intuitive.

Si vous voulez un retour pas à pas avec vos propres nombres, explorez un triangle similaire dans GPAI Solver.