Twierdzenie cosinusów — wzór, dowód i przykłady

Użyj twierdzenia cosinusów, gdy trójkąt nie jest prostokątny i znasz albo dwa boki oraz kąt między nimi, albo wszystkie trzy boki. Dla boków $a$, $b$, $c$ leżących naprzeciw kątów $A$, $B$, $C$ standardowa postać to

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Tutaj bok $c$ leży naprzeciw kąta $C$, a $C$ jest kątem między bokami $a$ i $b$. Ten sam schemat działa także dla pozostałych boków:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Jeśli $C = 90^\circ$, to $\cos C = 0$, więc wzór przyjmuje postać $c^2 = a^2 + b^2$. Właśnie dlatego twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.

Kiedy używać twierdzenia cosinusów

Najczęstszy przypadek to SAS: dwa boki i kąt między nimi. Kąt między nimi to kąt utworzony przez te dwa znane boki.

Działa ono także dla SSS: gdy znane są wszystkie trzy boki i chcesz obliczyć kąt. W takim przypadku najpierw przekształć wzór, a dopiero potem użyj funkcji odwrotnej do cosinusa.

Jeśli znasz już bok i kąt leżący naprzeciwko niego, to twierdzenie sinusów często jest lepszym pierwszym narzędziem.

Co oznacza ten wzór

Jeśli dwa boki pozostają stałe, trzeci bok zależy od kąta między nimi.

Gdy kąt między bokami rośnie, bok naprzeciwko staje się dłuższy. Gdy kąt maleje, bok naprzeciwko staje się krótszy. Wyrażenie $-2ab\cos C$ koryguje prostą sumę $a^2 + b^2$, aby uwzględnić ten kąt.

To właśnie ten wyraz korygujący warto zapamiętać. Bez niego traktowałbyś każdy trójkąt tak, jakby był prostokątny.

Przykład: oblicz bok

Załóżmy, że trójkąt ma boki $a = 5$ i $b = 7$, a kąt między nimi wynosi $C = 60^\circ$. Oblicz bok $c$.

Ponieważ $c$ leży naprzeciw znanego kąta $C$, użyj

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Podstaw wartości:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Ponieważ $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Zatem

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Ta odpowiedź ma sens: trzeci bok jest dłuższy niż $5$, ale krótszy niż $7 + 5 = 12$, a kąt jest umiarkowany, a nie bardzo duży.

Jak obliczyć kąt z trzech boków

Jeśli znane są wszystkie trzy boki, najpierw oblicz cosinus:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Następnie oblicz

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Ma to sens tylko wtedy, gdy $a$, $b$ i $c$ tworzą poprawny trójkąt. Jeśli wartość wewnątrz $\cos^{-1}$ wykracza poza przedział $[-1, 1]$, to wcześniej pojawił się błąd w obliczeniach algebraicznych albo w danych.

Krótki pomysł na dowód

Jeden z prostych dowodów wykorzystuje układ współrzędnych.

Umieść jeden bok na osi $x$. Niech jeden wierzchołek będzie w punkcie $(0, 0)$, a drugi w punkcie $(b, 0)$. Trzeci wierzchołek umieść w punkcie $(a\cos C, a\sin C)$, ponieważ ten punkt jest w odległości $a$ od początku układu i tworzy kąt $C$ z osią $x$.

Teraz użyj wzoru na odległość między punktami $(b, 0)$ i $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Rozwiń:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Następnie użyj

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

aby połączyć dwa ostatnie wyrazy:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

To właśnie twierdzenie cosinusów.

Typowe błędy

Dopasowanie niewłaściwego boku i kąta

Kąt we wzorze musi leżeć naprzeciw boku znajdującego się po lewej stronie równania. Jeśli używasz kąta $C$, to po lewej stronie musi być $c^2$.

Używanie wzoru tak, jakby każdy trójkąt był prostokątny

Jeśli kąt nie ma $90^\circ$, nie można pominąć wyrazu $-2ab\cos C$.

Zapomnienie o trybie kalkulatora

Jeśli w zadaniu podano stopnie, kalkulator musi być ustawiony na stopnie. Jeśli podano radiany, użyj trybu radianów.

Obliczanie kąta bez uważnego wyznaczenia cosinusa

Gdy znane są wszystkie trzy boki, najpierw przekształć wzór, a dopiero potem użyj funkcji odwrotnej do cosinusa. Mały błąd algebraiczny w tym miejscu może mocno zniekształcić końcowy wynik.

Gdzie używa się twierdzenia cosinusów

Twierdzenie cosinusów jest często stosowane w geometrii, trygonometrii, geodezji, nawigacji oraz w każdym zadaniu, w którym trzeba wyznaczyć odległości w trójkącie nieprostokątnym.

W matematyce szkolnej ma dwa główne zastosowania:

• obliczanie brakującego boku na podstawie dwóch boków i kąta między nimi
• obliczanie brakującego kąta na podstawie wszystkich trzech boków

Jeśli masz już trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa jest zwykle prostszą wersją. Jeśli zamiast tego znasz kąty i parę boków, lepiej może pasować twierdzenie sinusów.

Spróbuj samodzielnie

Weź $a = 8$, $b = 11$ oraz $C = 30^\circ$, a następnie oblicz $c$. Potem zmień $C$ na $120^\circ$ i porównaj wynik. Obserwowanie, jak rośnie bok naprzeciwko, to jeden z najszybszych sposobów, by wzór stał się intuicyjny.

Jeśli chcesz otrzymać informację zwrotną krok po kroku dla własnych liczb, przeanalizuj podobny trójkąt w GPAI Solver.