코사인 법칙 — 공식, 증명, 예제

삼각형이 직각삼각형이 아닐 때, 두 변과 그 사이각을 알거나 세 변을 모두 알면 코사인 법칙을 사용합니다. 각 $A$, $B$, $C$의 맞은편 변을 각각 $a$, $b$, $c$라고 하면, 기본형은 다음과 같습니다.

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

여기서 변 $c$는 각 $C$의 맞은편에 있고, $C$는 변 $a$와 $b$ 사이의 각입니다. 같은 패턴은 다른 변에도 그대로 적용됩니다.

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

만약 $C = 90^\circ$라면 $\cos C = 0$이므로 식은 $c^2 = a^2 + b^2$가 됩니다. 그래서 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화라고 할 수 있습니다.

코사인 법칙은 언제 쓰나요?

가장 흔한 경우는 SAS, 즉 두 변과 그 사이각을 아는 경우입니다. 여기서 사이각이란, 알고 있는 두 변이 이루는 각을 뜻합니다.

또한 SSS, 즉 세 변을 모두 알고 각 하나를 구할 때도 사용할 수 있습니다. 이 경우에는 먼저 식을 정리한 뒤 역코사인을 사용합니다.

이미 한 변과 그 맞은편 각을 알고 있다면, 처음에는 사인 법칙이 더 적절한 도구인 경우가 많습니다.

공식의 의미

두 변의 길이가 고정되어 있으면, 나머지 한 변의 길이는 그 사이각에 따라 달라집니다.

사이각이 커질수록 맞은편 변은 길어집니다. 반대로 각이 작아질수록 맞은편 변은 짧아집니다. 항 $-2ab\cos C$는 단순한 합 $a^2 + b^2$를 그 각에 맞게 조정해 주는 역할을 합니다.

이 보정항이 바로 꼭 기억해야 할 부분입니다. 이 항이 없으면 모든 삼각형을 직각삼각형처럼 다루게 됩니다.

풀이 예제: 한 변 구하기

어떤 삼각형에서 $a = 5$, $b = 7$, 그리고 사이각이 $C = 60^\circ$라고 합시다. 변 $c$를 구해 봅시다.

변 $c$는 알려진 각 $C$의 맞은편에 있으므로 다음 식을 사용합니다.

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

값을 대입하면,

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$이므로,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

따라서

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

이 답은 타당합니다. 세 번째 변은 $5$보다 길고 $7 + 5 = 12$보다 짧으며, 각도도 아주 크지 않은 보통 크기의 각이기 때문입니다.

세 변으로 각 구하는 방법

세 변의 길이를 모두 알고 있다면, 먼저 코사인에 대해 정리합니다.

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

그다음

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

를 계산하면 됩니다.

이 식은 $a$, $b$, $c$가 실제로 삼각형을 이룰 때만 의미가 있습니다. 만약 $\cos^{-1}$ 안의 값이 구간 $[-1, 1]$을 벗어나면, 앞선 계산이나 주어진 데이터에 오류가 있는 것입니다.

짧은 증명 아이디어

깔끔한 증명 방법 중 하나는 좌표를 이용하는 것입니다.

한 변을 $x$축 위에 놓습니다. 한 꼭짓점을 $(0, 0)$, 다른 꼭짓점을 $(b, 0)$에 둡니다. 세 번째 꼭짓점은 원점에서 거리 $a$만큼 떨어져 있고 $x$축과 각 $C$를 이루므로 $(a\cos C, a\sin C)$에 놓을 수 있습니다.

이제 $(b, 0)$과 $(a\cos C, a\sin C)$ 사이의 거리 공식을 사용합니다.

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

전개하면,

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

그리고

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

을 이용해 마지막 두 항을 합치면,

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

이것이 바로 코사인 법칙입니다.

자주 하는 실수

변과 각을 잘못 대응시키는 경우

식에 들어가는 각은 등식 왼쪽에 있는 변의 맞은편 각이어야 합니다. 예를 들어 각 $C$를 사용한다면 왼쪽은 반드시 $c^2$이어야 합니다.

모든 삼각형을 직각삼각형처럼 생각하는 경우

각이 $90^\circ$가 아니라면 $-2ab\cos C$ 항을 빼면 안 됩니다.

계산기 각도 모드를 잊는 경우

문제에서 도 단위를 주면 계산기도 degree 모드여야 합니다. 라디안을 주면 radian 모드를 사용해야 합니다.

각을 구할 때 코사인을 정확히 정리하지 않는 경우

세 변을 모두 알고 있을 때는 먼저 식을 정리한 뒤 역코사인을 사용해야 합니다. 여기서 작은 대수 실수 하나만 있어도 최종 각이 크게 달라질 수 있습니다.

코사인 법칙은 어디에 쓰이나요?

코사인 법칙은 기하, 삼각법, 측량, 항법, 그리고 직각삼각형이 아닌 삼각형에서 거리를 구해야 하는 여러 문제에 자주 쓰입니다.

학교 수학에서는 주로 다음 두 가지 용도로 사용합니다.

• 두 변과 그 사이각으로부터 나머지 한 변 구하기
• 세 변으로부터 나머지 한 각 구하기

이미 직각삼각형이라면 보통 피타고라스 정리가 더 간단합니다. 반대로 한 변과 각의 쌍을 알고 있다면 사인 법칙이 더 잘 맞을 수 있습니다.

직접 해보기

$a = 8$, $b = 11$, $C = 30^\circ$일 때 $c$를 구해 보세요. 그다음 $C$를 $120^\circ$로 바꾸고 결과를 비교해 보세요. 맞은편 변이 커지는 모습을 확인하는 것은 이 공식을 직관적으로 이해하는 가장 빠른 방법 중 하나입니다.

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