Định lý sin — Công thức & Bài tập có lời giải

Định lý sin giúp bạn giải một tam giác khi biết một cạnh và góc đối diện với nó. Trong mọi tam giác có các cạnh $a$, $b$, $c$ đối diện với các góc $A$, $B$, $C$,

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

Quy tắc quan trọng nhất là ghép đúng các cặp đối diện. Cạnh $a$ đi với góc $A$, cạnh $b$ đi với góc $B$, và cạnh $c$ đi với góc $C$. Nếu ghép nhầm các cặp này thì cách lập công thức sẽ sai, dù phần biến đổi đại số có đúng.

Định lý sin có ý nghĩa gì

Công thức này cho biết mọi cặp cạnh–góc đối diện đều có cùng một tỉ số. Vì vậy, góc lớn hơn sẽ đối diện với cạnh dài hơn, còn góc nhỏ hơn sẽ đối diện với cạnh ngắn hơn.

Đó là cách kiểm tra trực quan nhanh nhất. Nếu một góc mở rộng hơn thì cạnh đối diện nó phải dài hơn. Nếu đáp án của bạn không theo quy luật đó, rất có thể bạn đã ghép sai cạnh và góc.

Khi nào dùng định lý sin

Định lý sin áp dụng được cho mọi tam giác, nhưng hữu ích nhất với tam giác không vuông khi bạn đã biết ít nhất một cặp cạnh–góc đối diện.

Các dạng thường gặp nhất là:

• AAS hoặc ASA: hai góc và một cạnh
• SSA: hai cạnh và một góc không xen giữa, trong đó góc đã biết đối diện với một trong hai cạnh đã biết

Nếu thay vào đó bạn biết hai cạnh và góc xen giữa, hãy bắt đầu bằng định lý cos, không phải định lý sin.

Ví dụ công thức định lý sin

Giả sử $A = 42^\circ$, $B = 71^\circ$, và $a = 8$. Hãy tìm cạnh $b$.

Bắt đầu bằng cách ghép đúng các cặp đối diện:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$$

Thay các giá trị đã biết:

$$\frac{8}{\sin(42^\circ)} = \frac{b}{\sin(71^\circ)}$$

Bây giờ giải ra $b$:

$$b = 8 \cdot \frac{\sin(71^\circ)}{\sin(42^\circ)}$$

Dùng các giá trị gần đúng thập phân,

$$b \approx 8 \cdot \frac{0.9455}{0.6691} \approx 11.30$$

Vậy

$$b \approx 11.3$$

Kết quả này hợp lý. Vì $B$ lớn hơn $A$, nên cạnh $b$ phải dài hơn cạnh $a$, và $11.3 > 8$.

Những lỗi thường gặp với định lý sin

Lỗi phổ biến nhất là ghép một cạnh với sai góc. Định lý sin dùng các cặp đối diện, không phải các cặp kề nhau.

Một lỗi khác là chọn dùng nó quá sớm. Nếu chưa biết cặp cạnh–góc đối diện nào, thì thường đây không phải phương trình đầu tiên tốt nhất để dùng.

Học sinh cũng hay bỏ sót trường hợp mơ hồ SSA. Nếu bạn nhận được $\sin(B) = k$ với $0 < k < 1$, thì có thể có hai góc khả dĩ: $B$ và $180^\circ - B$.

Điều đó không phải lúc nào cũng có nghĩa là tồn tại hai tam giác. Bạn phải kiểm tra xem mỗi lựa chọn góc có làm tổng ba góc vẫn nhỏ hơn $180^\circ$ hay không, đồng thời vẫn phù hợp với dữ kiện cạnh đã cho.

Hai dạng tương đương của định lý sin

Bạn có thể thấy định lý sin được viết theo một trong hai dạng sau:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \quad \text{or} \quad \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$

Chúng có cùng ý nghĩa. Hãy chọn dạng giúp tách ẩn số gọn nhất, nhưng vẫn phải giữ nguyên quy tắc ghép các cặp đối diện.

Định lý sin được dùng ở đâu

Định lý sin xuất hiện trong lượng giác, hình học, trắc địa, hàng hải và mọi bài toán đo đạc tam giác khi không cho góc vuông.

Trong thực tế, quy trình rất đơn giản: vẽ tam giác, ghi các cặp đối diện, kiểm tra xem dữ kiện đã biết thuộc dạng ASA, AAS hay SSA, rồi giải.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự làm một phiên bản khác với $A = 35^\circ$, $C = 95^\circ$, và $a = 12$. Trước hết tìm góc $B$, sau đó dùng định lý sin để tìm cạnh $c$. Trước khi tính, hãy dự đoán xem $c$ sẽ dài hơn hay ngắn hơn $a$. Dự đoán nhanh này là một trong những cách dễ nhất để phát hiện sớm lỗi thiết lập.