Teorema del coseno — Formula, dimostrazione ed esempi

Usa il teorema del coseno quando un triangolo non è rettangolo e conosci o due lati con l’angolo compreso oppure tutti e tre i lati. Per i lati $a$, $b$, $c$ opposti agli angoli $A$, $B$, $C$, la forma standard è

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Qui il lato $c$ è opposto all’angolo $C$, e $C$ è l’angolo compreso tra i lati $a$ e $b$. Lo stesso schema vale per gli altri lati:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Se $C = 90^\circ$, allora $\cos C = 0$, quindi la formula diventa $c^2 = a^2 + b^2$. Per questo il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora.

Quando usare il teorema del coseno

Il caso più comune è SAS: due lati e l’angolo compreso. L’angolo compreso è l’angolo formato da quei due lati noti.

Funziona anche per SSS: tutti e tre i lati sono noti e vuoi trovare un angolo. In quel caso, riordina la formula prima di usare l’arcocoseno.

Se conosci già un lato e il suo angolo opposto, spesso il teorema dei seni è lo strumento migliore da usare per primo.

Cosa significa la formula

Se due lati restano fissi, il terzo lato dipende dall’angolo compreso tra essi.

Quando l’angolo compreso aumenta, il lato opposto si allunga. Quando l’angolo diminuisce, il lato opposto si accorcia. Il termine $-2ab\cos C$ corregge la semplice somma $a^2 + b^2$ per tenere conto di quell’angolo.

Quel termine di correzione è la parte da ricordare. Senza di esso, tratteresti ogni triangolo come se fosse rettangolo.

Esempio svolto: trovare un lato

Supponiamo che un triangolo abbia lati $a = 5$ e $b = 7$, e che l’angolo compreso sia $C = 60^\circ$. Trova il lato $c$.

Poiché $c$ è opposto all’angolo noto $C$, usa

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Sostituisci i valori:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Poiché $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Quindi

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Questa risposta ha senso: il terzo lato è più lungo di $5$ ma più corto di $7 + 5 = 12$, e l’angolo è moderato invece di essere estremamente grande.

Come trovare un angolo conoscendo i tre lati

Se tutti e tre i lati sono noti, ricava prima il coseno:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Poi calcola

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Questo ha senso solo quando $a$, $b$ e $c$ formano un triangolo valido. Se il valore dentro $\cos^{-1}$ è fuori dall’intervallo $[-1, 1]$, c’è un errore precedente nei calcoli o nei dati.

Una breve idea della dimostrazione

Una dimostrazione elegante usa le coordinate.

Metti un lato sull’asse $x$. Sia un vertice in $(0, 0)$ e un altro in $(b, 0)$. Metti il terzo vertice in $(a\cos C, a\sin C)$ perché quel punto dista $a$ dall’origine e forma un angolo $C$ con l’asse $x$.

Ora usa la formula della distanza tra $(b, 0)$ e $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Sviluppa:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Poi usa

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

per unire gli ultimi due termini:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Questo è il teorema del coseno.

Errori comuni

Abbinare il lato e l’angolo sbagliati

L’angolo nella formula deve essere opposto al lato che compare a sinistra dell’equazione. Se usi l’angolo $C$, allora a sinistra deve esserci $c^2$.

Usare la formula come se ogni triangolo fosse rettangolo

Se l’angolo non è $90^\circ$, non puoi eliminare il termine $-2ab\cos C$.

Dimenticare la modalità della calcolatrice

Se il problema usa i gradi, la calcolatrice deve essere in modalità gradi. Se usa i radianti, usa la modalità radianti.

Trovare un angolo senza isolare con attenzione il coseno

Quando tutti e tre i lati sono noti, riordina prima la formula e poi usa l’arcocoseno. Un piccolo errore algebrico in questo passaggio può alterare molto l’angolo finale.

Dove si usa il teorema del coseno

Il teorema del coseno è comune in geometria, trigonometria, topografia, navigazione e in qualsiasi problema in cui servano distanze in un triangolo non rettangolo.

Nella matematica scolastica, i due usi principali sono:

• trovare un lato mancante conoscendo due lati e l’angolo compreso
• trovare un angolo mancante conoscendo tutti e tre i lati

Se hai già un triangolo rettangolo, il teorema di Pitagora è di solito la versione più semplice. Se invece conosci angoli insieme a una coppia lato-angolo, il teorema dei seni può essere più adatto.

Prova una tua versione

Prendi $a = 8$, $b = 11$ e $C = 30^\circ$, poi trova $c$. Dopo, cambia $C$ in $120^\circ$ e confronta il risultato. Vedere il lato opposto crescere è uno dei modi più rapidi per rendere intuitiva la formula.

Se vuoi un riscontro passo dopo passo con i tuoi numeri, esplora un triangolo simile in GPAI Solver.